微分積分学準備例

x^{6} - 6 x^{3} + 9 = 0

$x^{6} - 6 x^{3} + 9 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

x^{6}

$x^{6}$ を

{(x^{3})}^{2}

${(x^{3})}^{2}$ に書き換えます。

{(x^{3})}^{2} - 6 x^{3} + 9 = 0

${(x^{3})}^{2} - 6 x^{3} + 9 = 0$

ステップ 1.2

u = x^{3}

$u = x^{3}$ とします。

u

$u$ を

x^{3}

$x^{3}$ に代入します。

u^{2} - 6 u + 9 = 0

$u^{2} - 6 u + 9 = 0$

ステップ 1.3

完全平方式を利用して因数分解します。

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ステップ 1.3.1

9

$9$ を

3^{2}

$3^{2}$ に書き換えます。

u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0

$u^{2} - 6 u + 3^{2} = 0$

ステップ 1.3.2

中間項が、第1項と第3項で2乗される数の積の2倍であることを確認します。

6 u = 2 \cdot u \cdot 3

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

ステップ 1.3.3

多項式を書き換えます。

u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0

$u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2} = 0$

ステップ 1.3.4

a = u

$a = u$ と

b = 3

$b = 3$ ならば、完全平方3項式

a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}

$a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ を利用して因数分解します。

{(u - 3)}^{2} = 0

${(u - 3)}^{2} = 0$

{(u - 3)}^{2} = 0

${(u - 3)}^{2} = 0$

ステップ 1.4

u

$u$ のすべての発生を

x^{3}

$x^{3}$ で置き換えます。

{(x^{3} - 3)}^{2} = 0

${(x^{3} - 3)}^{2} = 0$

{(x^{3} - 3)}^{2} = 0

${(x^{3} - 3)}^{2} = 0$

ステップ 2

x^{3} - 3

$x^{3} - 3$ が

0

$0$ に等しいとします。

x^{3} - 3 = 0

$x^{3} - 3 = 0$

ステップ 3

x

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式の両辺に

3

$3$ を足します。

x^{3} = 3

$x^{3} = 3$

ステップ 3.2

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

x = \sqrt[3]{3}

$x = \sqrt[3]{3}$

x = \sqrt[3]{3}

$x = \sqrt[3]{3}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

x = \sqrt[3]{3}

$x = \sqrt[3]{3}$

10進法形式：

x = 1.44224957 \dots

$x = 1.44224957 \dots$

[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$