微分積分学準備例

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{2} (x (x + 2)) = \log_{2} (x + 6)$

ステップ 1.2

分配則を当てはめます。

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

ステップ 1.3

式を簡約します。

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ステップ 1.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot 2) = \log_{2} (x + 6)$

ステップ 1.3.2

$2$ を $x$ の左に移動させます。

$\log_{2} (x^{2} + 2 x) = \log_{2} (x + 6)$

ステップ 2

方程式を等しくするために、両辺の対数の引数が等しくなる必要があります。

$x^{2} + 2 x = x + 6$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

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ステップ 3.1.1

方程式の両辺から $x$ を引きます。

$x^{2} + 2 x - x = 6$

ステップ 3.1.2

$2 x$ から $x$ を引きます。

$x^{2} + x = 6$

ステップ 3.2

方程式の両辺から $6$ を引きます。

$x^{2} + x - 6 = 0$

ステップ 3.3

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 6$ を因数分解します。

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ステップ 3.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 6$ で、その和が $1$ です。

$- 2, 3$

ステップ 3.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 2) (x + 3) = 0$

ステップ 3.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 2 = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 3.5

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 3.6

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.6.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 3.6.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 3.7

最終解は $(x - 2) (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 2, - 3$

ステップ 4

$\log_{2} (x) + \log_{2} (x + 2) = \log_{2} (x + 6)$ が真にならない解を除外します。

$x = 2$

微分積分学準備 例

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