微分積分学準備例

e^{2 x} - e^{x} - 30 = 0

$e^{2 x} - e^{x} - 30 = 0$

ステップ 1

方程式の左辺を因数分解します。

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ステップ 1.1

e^{2 x}

$e^{2 x}$ を

${(e^{x})}^{2}$ に書き換えます。

${(e^{x})}^{2} - e^{x} - 30 = 0$

ステップ 1.2

$u = e^{x}$ とします。

$u$ を

$e^{x}$ に代入します。

$u^{2} - u - 30 = 0$

ステップ 1.3

たすき掛けを利用して

$u^{2} - u - 30$ を因数分解します。

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ステップ 1.3.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が

$c$ で和が

$b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が

$- 30$ で、その和が

$- 1$ です。

$- 6, 5$

ステップ 1.3.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(u - 6) (u + 5) = 0$

$(u - 6) (u + 5) = 0$

ステップ 1.4

$u$ のすべての発生を

$e^{x}$ で置き換えます。

$(e^{x} - 6) (e^{x} + 5) = 0$

$(e^{x} - 6) (e^{x} + 5) = 0$

ステップ 2

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$e^{x} - 6 = 0$

$e^{x} + 5 = 0$

ステップ 3

$e^{x} - 6$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 3.1

$e^{x} - 6$ が

$0$ に等しいとします。

$e^{x} - 6 = 0$

ステップ 3.2

$x$ について

$e^{x} - 6 = 0$ を解きます。

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ステップ 3.2.1

方程式の両辺に

$6$ を足します。

$e^{x} = 6$

ステップ 3.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (6)$

ステップ 3.2.3

左辺を展開します。

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ステップ 3.2.3.1

$x$ を対数の外に移動させて、

$\ln (e^{x})$ を展開します。

$x \ln (e) = \ln (6)$

ステップ 3.2.3.2

$e$ の自然対数は

$1$ です。

$x \cdot 1 = \ln (6)$

ステップ 3.2.3.3

$x$ に

$1$ をかけます。

$x = \ln (6)$

$x = \ln (6)$

$x = \ln (6)$

$x = \ln (6)$

ステップ 4

$e^{x} + 5$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$e^{x} + 5$ が

$0$ に等しいとします。

$e^{x} + 5 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について

$e^{x} + 5 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から

$5$ を引きます。

$e^{x} = - 5$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{x}) = \ln (- 5)$

ステップ 4.2.3

$\ln (- 5)$ が未定義なので、方程式は解くことができません。

未定義

ステップ 4.2.4

$e^{x} = - 5$ の解はありません

解がありません

解がありません

解がありません

ステップ 5

最終解は

$(e^{x} - 6) (e^{x} + 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \ln (6)$

ステップ 6

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = \ln (6)$

10進法形式：

$x = 1.79175946 \dots$

$e^{2 x} - e^{x} - 30 = 0$

(

(

)

)

|

|

[

[

]

]

√

√





≥

≥





















7

7

8

8

9

9













≤

≤





°

°

θ

θ









4

4

5

5

6

6

/

/

^

^

×

×

>

>





π

π













1

1

2

2

3

3

-

-

+

+

÷

÷

<

<





∞

∞











,

,

0

0

.

.

%

%



=

=









$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$