微分積分学準備例

$\frac{{(x + h)}^{- 2} - x^{- 2}}{h}$

ステップ 1

分子を簡約します。

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ステップ 1.1

${(x + h)}^{- 2}$ を ${({(x + h)}^{- 1})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - x^{- 2}}{h}$

ステップ 1.2

$x^{- 2}$ を ${(x^{- 1})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{({(x + h)}^{- 1})}^{2} - {(x^{- 1})}^{2}}{h}$

ステップ 1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = {(x + h)}^{- 1}$ であり、 $b = x^{- 1}$ です。

$\frac{({(x + h)}^{- 1} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4

簡約します。

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ステップ 1.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{x + h} + x^{- 1}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{(\frac{1}{x + h} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.3

$\frac{1}{x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.4

$\frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$\frac{(\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.5

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.4.5.1

$\frac{1}{x + h}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.5.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$\frac{(\frac{x}{(x + h) x} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.5.3

$(x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(\frac{x}{x (x + h)} + \frac{x + h}{x (x + h)}) ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x + x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.7

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} ({(x + h)}^{- 1} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.8

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - x^{- 1})}{h}$

ステップ 1.4.9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 1.4.10

$\frac{1}{x + h}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x})}{h}$

ステップ 1.4.11

$- \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h}{x + h}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{1}{x + h} \cdot \frac{x}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

ステップ 1.4.12

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h) x$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 1.4.12.1

$\frac{1}{x + h}$ に $\frac{x}{x}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{x + h}{x + h})}{h}$

ステップ 1.4.12.2

$\frac{1}{x}$ に $\frac{x + h}{x + h}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{(x + h) x} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 1.4.12.3

$(x + h) x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} (\frac{x}{x (x + h)} - \frac{x + h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 1.4.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - (x + h)}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.4.14

因数分解した形で $\frac{x - (x + h)}{x (x + h)}$ を書き換えます。

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ステップ 1.4.14.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{x - x - h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.4.14.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{0 - h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.4.14.3

$0$ から $h$ を引きます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{- h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.5

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot - 1 \frac{h}{x (x + h)}}{h}$

ステップ 1.6

指数をまとめます。

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ステップ 1.6.1

負をくくり出します。

$\frac{- (\frac{2 x + h}{x (x + h)} \cdot \frac{h}{x (x + h)})}{h}$

ステップ 1.6.2

$\frac{2 x + h}{x (x + h)}$ に $\frac{h}{x (x + h)}$ をかけます。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x (x + h) (x (x + h))}}{h}$

ステップ 1.6.3

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 1.6.4

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1} x^{1} (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 1.6.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{1 + 1} (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 1.6.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} (x + h) (x + h)}}{h}$

ステップ 1.6.7

$x + h$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} (x + h))}}{h}$

ステップ 1.6.8

$x + h$ を $1$ 乗します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} ({(x + h)}^{1} {(x + h)}^{1})}}{h}$

ステップ 1.6.9

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{1 + 1}}}{h}$

ステップ 1.6.10

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}}{h}$

ステップ 2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1

$- \frac{(2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- (2 x + h) h}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3.2

$h$ を $- (2 x + h) h$ で因数分解します。

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3.3

共通因数を約分します。

$\frac{h (- (2 x + h))}{x^{2} {(x + h)}^{2}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 3.4

式を書き換えます。

$\frac{- (2 x + h)}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

ステップ 4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x + h}{x^{2} {(x + h)}^{2}}$

微分積分学準備 例

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