微分積分学準備例

$\frac{1}{x^{2} + 3 x + 2} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1

各項を簡約します。

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ステップ 1.1

たすき掛けを利用して $x^{2} + 3 x + 2$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $2$ で、その和が $3$ です。

$1, 2$

ステップ 1.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{x^{2} - 2 x - 3}$

ステップ 1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 3$ を因数分解します。

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ステップ 1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 3$ で、その和が $- 2$ です。

$- 3, 1$

ステップ 1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

ステップ 2

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 3}{x - 3}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$

ステップ 3

$- \frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 2}{x + 2}$ を掛けます。

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)} \cdot \frac{x - 3}{x - 3} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

ステップ 4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 1) (x + 2) (x - 3)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{(x + 1) (x + 2)}$ に $\frac{x - 3}{x - 3}$ をかけます。

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{1}{(x - 3) (x + 1)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2}$

ステップ 4.2

$\frac{1}{(x - 3) (x + 1)}$ に $\frac{x + 2}{x + 2}$ をかけます。

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x - 3) (x + 1) (x + 2)}$

ステップ 4.3

$(x - 3) (x + 1) (x + 2)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x - 3}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)} - \frac{x + 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{x - 3 - (x + 2)}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x - 3 - x - 1 \cdot 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

ステップ 6.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{x - 3 - x - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

ステップ 6.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{0 - 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

ステップ 6.4

$0$ から $3$ を引きます。

$\frac{- 3 - 2}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

ステップ 6.5

$- 3$ から $2$ を引きます。

$\frac{- 5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{5}{(x + 1) (x + 2) (x - 3)}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例