微分積分学準備例

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$

ステップ 1

左辺を簡約します。

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ステップ 1.1

対数の積の性質を使います、 $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ です。

$\log_{5} ((x - 5) (x + 15)) = 3$

ステップ 1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 5) (x + 15)$ を展開します。

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ステップ 1.2.1

分配則を当てはめます。

$\log_{5} (x (x + 15) - 5 (x + 15)) = 3$

ステップ 1.2.2

分配則を当てはめます。

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 (x + 15)) = 3$

ステップ 1.2.3

分配則を当てはめます。

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

ステップ 1.3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 1.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\log_{5} (x^{2} + x \cdot 15 - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

ステップ 1.3.1.2

$15$ を $x$ の左に移動させます。

$\log_{5} (x^{2} + 15 \cdot x - 5 x - 5 \cdot 15) = 3$

ステップ 1.3.1.3

$- 5$ に $15$ をかけます。

$\log_{5} (x^{2} + 15 x - 5 x - 75) = 3$

ステップ 1.3.2

$15 x$ から $5 x$ を引きます。

$\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$

ステップ 2

対数の定義を利用して $\log_{5} (x^{2} + 10 x - 75) = 3$ を指数表記に書き換えます。 $x$ と $b$ が正の実数で $b \neq 1$ ならば、 $\log_{b} (x) = y$ は $b^{y} = x$ と同値です。

$5^{3} = x^{2} + 10 x - 75$

ステップ 3

$x$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$ として書き換えます。

$x^{2} + 10 x - 75 = 5^{3}$

ステップ 3.2

$5$ を $3$ 乗します。

$x^{2} + 10 x - 75 = 125$

ステップ 3.3

方程式の両辺から $125$ を引きます。

$x^{2} + 10 x - 75 - 125 = 0$

ステップ 3.4

$- 75$ から $125$ を引きます。

$x^{2} + 10 x - 200 = 0$

ステップ 3.5

たすき掛けを利用して $x^{2} + 10 x - 200$ を因数分解します。

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ステップ 3.5.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 200$ で、その和が $10$ です。

$- 10, 20$

ステップ 3.5.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$(x - 10) (x + 20) = 0$

ステップ 3.6

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x - 10 = 0$

$x + 20 = 0$

ステップ 3.7

$x - 10$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.7.1

$x - 10$ が $0$ に等しいとします。

$x - 10 = 0$

ステップ 3.7.2

方程式の両辺に $10$ を足します。

$x = 10$

ステップ 3.8

$x + 20$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.8.1

$x + 20$ が $0$ に等しいとします。

$x + 20 = 0$

ステップ 3.8.2

方程式の両辺から $20$ を引きます。

$x = - 20$

ステップ 3.9

最終解は $(x - 10) (x + 20) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 10, - 20$

ステップ 4

$\log_{5} (x - 5) + \log_{5} (x + 15) = 3$ が真にならない解を除外します。

$x = 10$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例