微分積分学準備例

\cos (\frac{29 π}{12})

$\cos (\frac{29 π}{12})$

ステップ 1

角度が

0

$0$ 以上

2 π

$2 π$ より小さくなるまで

2 π

$2 π$ の回転を戻します。

\cos (\frac{5 π}{12})

$\cos (\frac{5 π}{12})$

ステップ 2

\cos (\frac{5 π}{12})

$\cos (\frac{5 π}{12})$ の厳密値は

\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ です。

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ステップ 2.1

2

$2$ で割った6つの三角関数の値が分かっている角として

\frac{5 π}{12}

$\frac{5 π}{12}$ を書き直します。

\cos (\frac{\frac{5 π}{6}}{2})

$\cos (\frac{\frac{5 π}{6}}{2})$

ステップ 2.2

余弦半角の公式

\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}

$\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ を当てはめます。

\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}

$\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$

ステップ 2.3

余弦が第一象限で正なので、

\pm

$\pm$ を

+

$+$ に変えます。

\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$

ステップ 2.4

\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{5 π}{6})}{2}}$ を簡約します。

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ステップ 2.4.1

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余弦は第二象限で負であるため、式を負にします。

\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{6})}{2}}$

ステップ 2.4.2

\cos (\frac{π}{6})

$\cos (\frac{π}{6})$ の厳密値は

\frac{\sqrt{3}}{2}

$\frac{\sqrt{3}}{2}$ です。

\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 2.4.3

1

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 2.4.4

公分母の分子をまとめます。

\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}

$\sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{3}}{2}}{2}}$

ステップ 2.4.5

分子に分母の逆数を掛けます。

\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

ステップ 2.4.6

\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}

$\frac{2 - \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ を掛けます。

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ステップ 2.4.6.1

\frac{2 - \sqrt{3}}{2}

$\frac{2 - \sqrt{3}}{2}$ に

\frac{1}{2}

$\frac{1}{2}$ をかけます。

\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.4.6.2

2

$2$ に

2

$2$ をかけます。

\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

ステップ 2.4.7

\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}

$\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ を

\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

ステップ 2.4.8

分母を簡約します。

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ステップ 2.4.8.1

4

$4$ を

2^{2}

$2^{2}$ に書き換えます。

\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}

$\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

ステップ 2.4.8.2

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}