微分積分学準備例

sec (arcsin (x - 1))

$\sec (\arcsin (x - 1))$

ステップ 1

交点

(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)

$(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ 、

(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)

$(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, 0)$ と原点をもつ平面に三角形を書きます。そうすると、

arcsin (x - 1)

$\arcsin (x - 1)$ は正のx軸と、原点から始まって

(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)

$(\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}, x - 1)$ を通る半直線の間の角です。したがって、

sec (arcsin (x - 1))

$\sec (\arcsin (x - 1))$ は

\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(x - 1)}^{2}}}$

ステップ 2

分母を簡約します。

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ステップ 2.1

$1$ を

$1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1^{2} - {(x - 1)}^{2}}}$

ステップ 2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

$a = 1$ であり、

$b = x - 1$ です。

$\frac{1}{\sqrt{(1 + x - 1) (1 - (x - 1))}}$

ステップ 2.3

簡約します。

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ステップ 2.3.1

$1$ から

$1$ を引きます。

$\frac{1}{\sqrt{(x + 0) (1 - (x - 1))}}$

ステップ 2.3.2

$x$ と

$0$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - (x - 1))}}$

ステップ 2.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x - - 1)}}$

ステップ 2.3.4

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{x (1 - x + 1)}}$

ステップ 2.3.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

ステップ 3

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ に

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}} \cdot \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$

ステップ 4

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ に

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{\sqrt{x (- x + 2)} \sqrt{x (- x + 2)}}$

ステップ 4.2

$\sqrt{x (- x + 2)}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} \sqrt{x (- x + 2)}}$

ステップ 4.3

$\sqrt{x (- x + 2)}$ を

$1$ 乗します。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1} {\sqrt{x (- x + 2)}}^{1}}$

ステップ 4.4

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{1 + 1}}$

ステップ 4.5

$1$ と

$1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}}$

ステップ 4.6

${\sqrt{x (- x + 2)}}^{2}$ を

$x (- x + 2)$ に書き換えます。

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ステップ 4.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{x (- x + 2)}$ を

${(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{({(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

ステップ 4.6.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

ステップ 4.6.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{\frac{2}{2}}}$

ステップ 4.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{{(x (- x + 2))}^{1}}$

ステップ 4.6.5

簡約します。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- x + 2)}$

ステップ 5

$- 1$ を

$- x$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) + 2)}$

ステップ 6

$2$ を

$- 1 (- 2)$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x) - 1 (- 2))}$

ステップ 7

$- 1$ を

$- (x) - 1 (- 2)$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- (x - 2))}$

ステップ 8

負の数を書き換えます。

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ステップ 8.1

$- (x - 2)$ を

$- 1 (x - 2)$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (- 1 (x - 2))}$

ステップ 8.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{\sqrt{x (- x + 2)}}{x (x - 2)}$

微分積分学準備 例

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