微分積分学準備例

$\sin (3 x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 1

方程式の両辺の逆正弦をとり、正弦の中から $x$ を取り出します。

$3 x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

ステップ 2

右辺を簡約します。

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ステップ 2.1

$\arcsin (- \frac{1}{2})$ の厳密値は $- \frac{π}{6}$ です。

$3 x = - \frac{π}{6}$

ステップ 3

$3 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.1

$3 x = - \frac{π}{6}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- \frac{π}{6}}{3}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = - \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 3.3.2

$- \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.2.1

$\frac{1}{3}$ に $\frac{π}{6}$ をかけます。

$x = - \frac{π}{3 \cdot 6}$

ステップ 3.3.2.2

$3$ に $6$ をかけます。

$x = - \frac{π}{18}$

ステップ 4

正弦関数は、第三象限と第四象限で負となります。2番目の解を求めるには、 $2 π$ から解を引き、参照角を求めます。次に、この参照角を $π$ に足し、第三象限で解を求めます。

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

ステップ 5

式を簡約し、2番目の解を求めます。

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ステップ 5.1

$2 π + \frac{π}{6} + π$ から $2 π$ を引きます。

$3 x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

ステップ 5.2

$\frac{7 π}{6}$ の結果の角度は正で、 $2 π$ より小さく、 $2 π + \frac{π}{6} + π$ と隣接します。

$3 x = \frac{7 π}{6}$

ステップ 5.3

$3 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $3$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.3.1

$3 x = \frac{7 π}{6}$ の各項を $3$ で割ります。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

ステップ 5.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.3.2.1

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

ステップ 5.3.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{\frac{7 π}{6}}{3}$

ステップ 5.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$x = \frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$

ステップ 5.3.3.2

$\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{3}$ を掛けます。

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ステップ 5.3.3.2.1

$\frac{7 π}{6}$ に $\frac{1}{3}$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 3}$

ステップ 5.3.3.2.2

$6$ に $3$ をかけます。

$x = \frac{7 π}{18}$

ステップ 6

$\sin (3 x)$ の周期を求めます。

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ステップ 6.1

関数の期間は $\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 6.2

周期の公式の $b$ を $3$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 3 |}$

ステップ 6.3

絶対値は数と0の間の距離です。 $0$ と $3$ の間の距離は $3$ です。

$\frac{2 π}{3}$

ステップ 7

$\frac{2 π}{3}$ を各負の角に足し、正の角を得ます。

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ステップ 7.1

$\frac{2 π}{3}$ を $- \frac{π}{18}$ に足し、正の角を求めます。

$- \frac{π}{18} + \frac{2 π}{3}$

ステップ 7.2

$\frac{2 π}{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{6}{6}$ を掛けます。

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{18}$

ステップ 7.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $18$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 7.3.1

$\frac{2 π}{3}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{2 π \cdot 6}{3 \cdot 6} - \frac{π}{18}$

ステップ 7.3.2

$3$ に $6$ をかけます。

$\frac{2 π \cdot 6}{18} - \frac{π}{18}$

ステップ 7.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{18}$

ステップ 7.5

分子を簡約します。

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ステップ 7.5.1

$6$ に $2$ をかけます。

$\frac{12 π - π}{18}$

ステップ 7.5.2

$12 π$ から $π$ を引きます。

$\frac{11 π}{18}$

ステップ 7.6

新しい角をリストします。

$x = \frac{11 π}{18}$

ステップ 8

$\sin (3 x)$ 関数の周期が $\frac{2 π}{3}$ なので、両方向で $\frac{2 π}{3}$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{7 π}{18} + \frac{2 π n}{3}, \frac{11 π}{18} + \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数 $n$

微分積分学準備 例

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