微分積分学準備例

$\frac{x + 2}{x + 3} < \frac{x - 1}{x - 2}$

ステップ 1

不等式の両辺から $\frac{x - 1}{x - 2}$ を引きます。

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

ステップ 2

$\frac{x + 2}{x + 3} - \frac{x - 1}{x - 2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\frac{x + 2}{x + 3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 2}{x - 2}$ を掛けます。

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} < 0$

ステップ 2.2

$- \frac{x - 1}{x - 2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + 3}{x + 3}$ を掛けます。

$\frac{x + 2}{x + 3} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

ステップ 2.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + 3) (x - 2)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 2.3.1

$\frac{x + 2}{x + 3}$ に $\frac{x - 2}{x - 2}$ をかけます。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{x - 1}{x - 2} \cdot \frac{x + 3}{x + 3} < 0$

ステップ 2.3.2

$\frac{x - 1}{x - 2}$ に $\frac{x + 3}{x + 3}$ をかけます。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x - 2) (x + 3)} < 0$

ステップ 2.3.3

$(x - 2) (x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{(x + 2) (x - 2)}{(x + 3) (x - 2)} - \frac{(x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{(x + 2) (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5

分子を簡約します。

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ステップ 2.5.1

分配法則（FOIL法）を使って $(x + 2) (x - 2)$ を展開します。

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ステップ 2.5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (x - 2) + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 (x - 2) - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.2

$x \cdot x + x \cdot - 2 + 2 x + 2 \cdot - 2$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 2.5.2.1

$x \cdot - 2$ と $2 x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{x \cdot x - 2 x + 2 x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.2.2

$- 2 x$ と $2 x$ をたし算します。

$\frac{x \cdot x + 0 + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.2.3

$x \cdot x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{x \cdot x + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.3

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.3.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} + 2 \cdot - 2 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.3.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - (x - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 + (- x - - 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.5

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 + (- x + 1) (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(- x + 1) (x + 3)$ を展開します。

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ステップ 2.5.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 - x (x + 3) + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.6.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 (x + 3)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.6.3

分配則を当てはめます。

$\frac{x^{2} - 4 - x \cdot x - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.7

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 2.5.7.1

各項を簡約します。

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ステップ 2.5.7.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 2.5.7.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{2} - 4 - (x \cdot x) - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.7.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - x \cdot 3 + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.7.1.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + 1 x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.7.1.3

$x$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 1 \cdot 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.7.1.4

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 3 x + x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.7.2

$- 3 x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{x^{2} - 4 - x^{2} - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.8

$x^{2}$ から $x^{2}$ を引きます。

$\frac{0 - 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.9

$0$ から $4$ を引きます。

$\frac{- 4 - 2 x + 3}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.5.10

$- 4$ と $3$ をたし算します。

$\frac{- 2 x - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.6

$- 1$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x) - 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.7

$- 1$ を $- 1 (1)$ に書き換えます。

$\frac{- (2 x) - 1 (1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.8

$- 1$ を $- (2 x) - 1 (1)$ で因数分解します。

$\frac{- (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.9

$- (2 x + 1)$ を $- 1 (2 x + 1)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (2 x + 1)}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 2.10

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)} < 0$

ステップ 3

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$2 x + 1 = 0$

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 4

方程式の両辺から $1$ を引きます。

$2 x = - 1$

ステップ 5

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 5.1

$2 x = - 1$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x = \frac{- 1}{2}$

ステップ 5.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$x = - \frac{1}{2}$

ステップ 6

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 7

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - \frac{1}{2}$

$x = - 3$

$x = 2$

ステップ 9

解をまとめます。

$x = - \frac{1}{2}, - 3, 2$

ステップ 10

$- \frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ の定義域を求めます。

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ステップ 10.1

$\frac{2 x + 1}{(x + 3) (x - 2)}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$(x + 3) (x - 2) = 0$

ステップ 10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 10.2.1

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x + 3 = 0$

$x - 2 = 0$

ステップ 10.2.2

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.2.2.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 10.2.2.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 10.2.3

$x - 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 10.2.3.1

$x - 2$ が $0$ に等しいとします。

$x - 2 = 0$

ステップ 10.2.3.2

方程式の両辺に $2$ を足します。

$x = 2$

ステップ 10.2.4

最終解は $(x + 3) (x - 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = - 3, 2$

ステップ 10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 2) \cup (2, \infty)$

ステップ 11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$

$- \frac{1}{2} < x < 2$

$x > 2$

ステップ 12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 12.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

$\frac{(- 6) + 2}{(- 6) + 3} < \frac{(- 6) - 1}{(- 6) - 2}$

ステップ 12.1.3

左辺 $1.\overline{3}$ は右辺 $0.875$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.2

区間 $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.2.1

区間 $- 3 < x < - \frac{1}{2}$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

$\frac{(- 2) + 2}{(- 2) + 3} < \frac{(- 2) - 1}{(- 2) - 2}$

ステップ 12.2.3

左辺 $0$ は右辺 $0.75$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.3

区間 $- \frac{1}{2} < x < 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.3.1

区間 $- \frac{1}{2} < x < 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 0$

ステップ 12.3.2

$x$ を元の不等式の $0$ で置き換えます。

$\frac{(0) + 2}{(0) + 3} < \frac{(0) - 1}{(0) - 2}$

ステップ 12.3.3

左辺 $0.\overline{6}$ は右辺 $0.5$ より小さくありません。つまり、与えられた文は偽です。

False

ステップ 12.4

区間 $x > 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 12.4.1

区間 $x > 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 4$

ステップ 12.4.2

$x$ を元の不等式の $4$ で置き換えます。

$\frac{(4) + 2}{(4) + 3} < \frac{(4) - 1}{(4) - 2}$

ステップ 12.4.3

左辺 $0.\overline{857142}$ は右辺 $1.5$ より小さいです。つまり、与えられた文は常に真です。

True

ステップ 12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ 真

$- \frac{1}{2} < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

$x < - 3$ 偽

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ 真

$- \frac{1}{2} < x < 2$ 偽

$x > 2$ 真

ステップ 13

解はすべての真の区間からなります。

$- 3 < x < - \frac{1}{2}$ または $x > 2$

ステップ 14

不等式を区間記号に変換します。

$(- 3, - \frac{1}{2}) \cup (2, \infty)$

ステップ 15

微分積分学準備 例

微分積分学準備例