微分積分学準備例

cos (2 x) - cos (x) = 0

$\cos (2 x) - \cos (x) = 0$

ステップ 1

2倍角の公式を利用して

cos (2 x)

$\cos (2 x)$ を

$2 \cos^{2} (x) - 1$ に変換します。

$2 \cos^{2} (x) - 1 - \cos (x) = 0$

ステップ 2

群による因数分解。

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ステップ 2.1

項を並べ替えます。

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.2

$a x^{2} + b x + c$ の形の多項式について、積が

$a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ で和が

$b = - 1$ である2項の和に中央の項を書き換えます。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ を

$- \cos (x)$ で因数分解します。

$2 \cos^{2} (x) - \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.2.2

$- 1$ を

$1$ プラス

$- 2$ に書き換える

$2 \cos^{2} (x) + (1 - 2) \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.2.3

分配則を当てはめます。

$2 \cos^{2} (x) + 1 \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.2.4

$\cos (x)$ に

$1$ をかけます。

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.3

各群から最大公約数を因数分解します。

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ステップ 2.3.1

前の2項と後ろの2項をまとめます。

$2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

ステップ 2.3.2

各群から最大公約数を因数分解します。

$\cos (x) (2 \cos (x) + 1) - (2 \cos (x) + 1) = 0$

ステップ 2.4

最大公約数

$2 \cos (x) + 1$ を因数分解して、多項式を因数分解します。

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

ステップ 3

方程式の左辺の個々の因数が

$0$ と等しいならば、式全体は

$0$ と等しくなります。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 4

$2 \cos (x) + 1$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 4.1

$2 \cos (x) + 1$ が

$0$ に等しいとします。

$2 \cos (x) + 1 = 0$

ステップ 4.2

$x$ について

$2 \cos (x) + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 4.2.1

方程式の両辺から

$1$ を引きます。

$2 \cos (x) = - 1$

ステップ 4.2.2

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を

$2$ で割り、簡約します。

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ステップ 4.2.2.1

$2 \cos (x) = - 1$ の各項を

$2$ で割ります。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cos (x)}{2} = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.2.1.2

$\cos (x)$ を

$1$ で割ります。

$\cos (x) = \frac{- 1}{2}$

ステップ 4.2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.2.3.1

分数の前に負数を移動させます。

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.2.3

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

$x$ を取り出します。

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

ステップ 4.2.4

右辺を簡約します。

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ステップ 4.2.4.1

$\arccos (- \frac{1}{2})$ の厳密値は

$\frac{2 π}{3}$ です。

$x = \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.5

余弦関数は、第二象限と第三象限で負となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から参照角を引き、第三象限で解を求めます。

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.6

$2 π - \frac{2 π}{3}$ を簡約します。

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ステップ 4.2.6.1

$2 π$ を公分母のある分数として書くために、

$\frac{3}{3}$ を掛けます。

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.6.2.1

$2 π$ と

$\frac{3}{3}$ をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.2.2

公分母の分子をまとめます。

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.2.6.3.1

$3$ に

$2$ をかけます。

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

ステップ 4.2.6.3.2

$6 π$ から

$2 π$ を引きます。

$x = \frac{4 π}{3}$

ステップ 4.2.7

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 4.2.7.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 4.2.7.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 4.2.7.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 4.2.7.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 4.2.8

$\cos (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 5

$\cos (x) - 1$ を

$0$ に等しくし、

$x$ を解きます。

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ステップ 5.1

$\cos (x) - 1$ が

$0$ に等しいとします。

$\cos (x) - 1 = 0$

ステップ 5.2

$x$ について

$\cos (x) - 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 5.2.1

方程式の両辺に

$1$ を足します。

$\cos (x) = 1$

ステップ 5.2.2

方程式の両辺の逆余弦をとり、余弦の中から

$x$ を取り出します。

$x = \arccos (1)$

ステップ 5.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 5.2.3.1

$\arccos (1)$ の厳密値は

$0$ です。

$x = 0$

ステップ 5.2.4

余弦関数は、第一象限と第四象限で正となります。2番目の解を求めるには、

$2 π$ から参照角を引き、第四象限で解を求めます。

$x = 2 π - 0$

ステップ 5.2.5

$2 π$ から

$0$ を引きます。

$x = 2 π$

ステップ 5.2.6

$\cos (x)$ の周期を求めます。

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ステップ 5.2.6.1

関数の期間は

$\frac{2 π}{| b |}$ を利用して求めることができます。

$\frac{2 π}{| b |}$

ステップ 5.2.6.2

周期の公式の

$b$ を

$1$ で置き換えます。

$\frac{2 π}{| 1 |}$

ステップ 5.2.6.3

絶対値は数と0の間の距離です。

$0$ と

$1$ の間の距離は

$1$ です。

$\frac{2 π}{1}$

ステップ 5.2.6.4

$2 π$ を

$1$ で割ります。

$2 π$

ステップ 5.2.7

$\cos (x)$ 関数の周期が

$2 π$ なので、両方向で

$2 π$ ラジアンごとに値を繰り返します。

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 6

最終解は

$(2 \cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ 、任意の整数

$n$

ステップ 7

答えをまとめます。

$x = \frac{2 π n}{3}$ 、任意の整数

$n$

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