微分積分学準備例

\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1

$\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$

ステップ 1

方程式の両辺から

\sqrt{2 x}

$\sqrt{2 x}$ を引きます。

\sqrt{x} = 1 - \sqrt{2 x}

$\sqrt{x} = 1 - \sqrt{2 x}$

ステップ 2

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

{\sqrt{x}}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}

${\sqrt{x}}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

ステップ 3

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ を

x^{\frac{1}{2}}

$x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

ステップ 3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1

{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2

2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1.1.2.1

共通因数を約分します。

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

ステップ 3.2.1.1.2.2

式を書き換えます。

$x^{1} = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

ステップ 3.2.1.2

簡約します。

$x = {(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$

ステップ 3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1

${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

${(1 - \sqrt{2 x})}^{2}$ を

$(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ に書き換えます。

$x = (1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$

ステップ 3.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って

$(1 - \sqrt{2 x}) (1 - \sqrt{2 x})$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$x = 1 (1 - \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

ステップ 3.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} (1 - \sqrt{2 x})$

ステップ 3.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$x = 1 \cdot 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

ステップ 3.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.1

$1$ に

$1$ をかけます。

$x = 1 + 1 (- \sqrt{2 x}) - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

ステップ 3.3.1.3.1.2

$- \sqrt{2 x}$ に

$1$ をかけます。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} \cdot 1 - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

ステップ 3.3.1.3.1.3

$- 1$ に

$1$ をかけます。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$

ステップ 3.3.1.3.1.4

$- \sqrt{2 x} (- \sqrt{2 x})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.4.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 1 \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.2

$\sqrt{2 x}$ に

$1$ をかけます。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + \sqrt{2 x} \sqrt{2 x}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.3

$\sqrt{2 x}$ を

$1$ 乗します。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} \sqrt{2 x}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.4

$\sqrt{2 x}$ を

$1$ 乗します。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1} {\sqrt{2 x}}^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.5

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{1 + 1}$

ステップ 3.3.1.3.1.4.6

$1$ と

$1$ をたし算します。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {\sqrt{2 x}}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.5

${\sqrt{2 x}}^{2}$ を

$2 x$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.5.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2 x}$ を

${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {({(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.2

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と

$2$ をまとめます。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.4

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.3.1.5.4.1

共通因数を約分します。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{\frac{2}{2}}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.4.2

式を書き換えます。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + {(2 x)}^{1}$

ステップ 3.3.1.3.1.5.5

簡約します。

$x = 1 - \sqrt{2 x} - \sqrt{2 x} + 2 x$

ステップ 3.3.1.3.2

$- \sqrt{2 x}$ から

$\sqrt{2 x}$ を引きます。

$x = 1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x$

ステップ 4

$- 2 \sqrt{2 x}$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

方程式を

$1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$ として書き換えます。

$1 - 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x$

ステップ 4.2

$- 2 \sqrt{2 x}$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

方程式の両辺から

$1$ を引きます。

$- 2 \sqrt{2 x} + 2 x = x - 1$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺から

$2 x$ を引きます。

$- 2 \sqrt{2 x} = x - 1 - 2 x$

ステップ 4.2.3

$x$ から

$2 x$ を引きます。

$- 2 \sqrt{2 x} = - x - 1$

ステップ 5

方程式の左辺から根を削除するため、方程式の両辺を2乗します。

${(- 2 \sqrt{2 x})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6

方程式の各辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、

$\sqrt{2 x}$ を

${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1

${(- 2 {(2 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

積の法則を

$2 x$ に当てはめます。

${(- 2 (2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}))}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2

$- 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.2.1

負をくくり出します。

${(- (2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2.2

$2$ を

$1$ 乗します。

${(- (2^{1} \cdot 2^{\frac{1}{2}}) x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2.3

べき乗則

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

${(- 2^{1 + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2.4

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

${(- 2^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2.5

公分母の分子をまとめます。

${(- 2^{\frac{2 + 1}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.2.6

$2$ と

$1$ をたし算します。

${(- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3

べき乗則

${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.3.1

積の法則を

$- 2^{\frac{3}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ に当てはめます。

${(- 2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.3.2

積の法則を

$- 2^{\frac{3}{2}}$ に当てはめます。

${(- 1)}^{2} {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.4

$- 1$ を

$2$ 乗します。

$1 {(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.5

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ に

$1$ をかけます。

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.6

${(2^{\frac{3}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.6.1

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.6.2.1

共通因数を約分します。

$2^{\frac{3}{2} \cdot 2} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.6.2.2

式を書き換えます。

$2^{3} {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.7

$2$ を

$3$ 乗します。

$8 {(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.8

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.8.1

べき乗則を当てはめて、指数

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.8.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.8.2.1

共通因数を約分します。

$8 x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.8.2.2

式を書き換えます。

$8 x^{1} = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.2.1.9

簡約します。

$8 x = {(- x - 1)}^{2}$

ステップ 6.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1

${(- x - 1)}^{2}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.1

${(- x - 1)}^{2}$ を

$(- x - 1) (- x - 1)$ に書き換えます。

$8 x = (- x - 1) (- x - 1)$

ステップ 6.3.1.2

分配法則（FOIL法）を使って

$(- x - 1) (- x - 1)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.2.1

分配則を当てはめます。

$8 x = - x (- x - 1) - 1 (- x - 1)$

ステップ 6.3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x - 1)$

ステップ 6.3.1.2.3

分配則を当てはめます。

$8 x = - x (- x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 x = - 1 \cdot - 1 x \cdot x - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3.1.2

指数を足して

$x$ に

$x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.2.1

$x$ を移動させます。

$8 x = - 1 \cdot - 1 (x \cdot x) - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3.1.2.2

$x$ に

$x$ をかけます。

$8 x = - 1 \cdot - 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3.1.3

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$8 x = 1 x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3.1.4

$x^{2}$ に

$1$ をかけます。

$8 x = x^{2} - x \cdot - 1 - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3.1.5

$- x \cdot - 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.5.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$8 x = x^{2} + 1 x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3.1.5.2

$x$ に

$1$ をかけます。

$8 x = x^{2} + x - 1 (- x) - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3.1.6

$- 1 (- x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.3.1.3.1.6.1

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$8 x = x^{2} + x + 1 x - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3.1.6.2

$x$ に

$1$ をかけます。

$8 x = x^{2} + x + x - 1 \cdot - 1$

ステップ 6.3.1.3.1.7

$- 1$ に

$- 1$ をかけます。

$8 x = x^{2} + x + x + 1$

ステップ 6.3.1.3.2

$x$ と

$x$ をたし算します。

$8 x = x^{2} + 2 x + 1$

ステップ 7

$x$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.1

$x$ が方程式の右辺にあるので、両辺を入れ替えると左辺になります。

$x^{2} + 2 x + 1 = 8 x$

ステップ 7.2

$x$ を含むすべての項を方程式の左辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

方程式の両辺から

$8 x$ を引きます。

$x^{2} + 2 x + 1 - 8 x = 0$

ステップ 7.2.2

$2 x$ から

$8 x$ を引きます。

$x^{2} - 6 x + 1 = 0$

ステップ 7.3

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 7.4

$a = 1$ 、

$b = - 6$ 、および

$c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、

$x$ の値を求めます。

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.1

$- 6$ を

$2$ 乗します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.2.1

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.2.2

$- 4$ に

$1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.3

$36$ から

$4$ を引きます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.4

$32$ を

$4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.5.1.4.1

$16$ を

$32$ で因数分解します。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.4.2

$16$ を

$4^{2}$ に書き換えます。

$x = \frac{6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 7.5.2

$2$ に

$1$ をかけます。

$x = \frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 7.5.3

$\frac{6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$x = 3 \pm 2 \sqrt{2}$

ステップ 7.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$x = 3 + 2 \sqrt{2}, 3 - 2 \sqrt{2}$

ステップ 8

$\sqrt{x} + \sqrt{2 x} = 1$ が真にならない解を除外します。

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

ステップ 9

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$x = 3 - 2 \sqrt{2}$

10進法形式：

$x = 0.17157287 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例