微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$

ステップ 1

$\sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$x^{2} + 3 x \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

$x^{2} + 3 x = 0$

ステップ 2.2

$x$ を $x^{2} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x + 3 x = 0$

ステップ 2.2.2

$x$ を $3 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot 3$ で因数分解します。

$x (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.5

$x + 3$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

$x + 3$ が $0$ に等しいとします。

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から $3$ を引きます。

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は $x (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 3$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 3$

$- 3 < x < 0$

$x > 0$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間 $x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間 $x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 6$

ステップ 2.8.1.2

$x$ を元の不等式の $- 6$ で置き換えます。

${(- 6)}^{2} + 3 (- 6) \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺 $18$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.2

区間 $- 3 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間 $- 3 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 2$

ステップ 2.8.2.2

$x$ を元の不等式の $- 2$ で置き換えます。

${(- 2)}^{2} + 3 (- 2) \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺 $- 2$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.3

区間 $x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間 $x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.8.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

${(2)}^{2} + 3 (2) \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺 $10$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

$x < - 3$ 真

$- 3 < x < 0$ 偽

$x > 0$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

$x \leq - 3$ または $x \geq 0$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3] \cup [0, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | x \leq - 3, x \geq 0}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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