微分積分学準備例

f (x) = \sqrt[4]{x^{2} + 3 x}

$f (x) = \sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$

ステップ 1

\sqrt[4]{x^{2} + 3 x}

$\sqrt[4]{x^{2} + 3 x}$ の被開数を

0

$0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

x^{2} + 3 x \geq 0

$x^{2} + 3 x \geq 0$

ステップ 2

x

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式を方程式に変換します。

x^{2} + 3 x = 0

$x^{2} + 3 x = 0$

ステップ 2.2

x

$x$ を

x^{2} + 3 x

$x^{2} + 3 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.2.1

x

$x$ を

x^{2}

$x^{2}$ で因数分解します。

x \cdot x + 3 x = 0

$x \cdot x + 3 x = 0$

ステップ 2.2.2

x

$x$ を

3 x

$3 x$ で因数分解します。

x \cdot x + x \cdot 3 = 0

$x \cdot x + x \cdot 3 = 0$

ステップ 2.2.3

x

$x$ を

x \cdot x + x \cdot 3

$x \cdot x + x \cdot 3$ で因数分解します。

x (x + 3) = 0

$x (x + 3) = 0$

x (x + 3) = 0

$x (x + 3) = 0$

ステップ 2.3

方程式の左辺の個々の因数が

0

$0$ と等しいならば、式全体は

0

$0$ と等しくなります。

x = 0

$x = 0$

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

ステップ 2.4

x

$x$ が

0

$0$ に等しいとします。

x = 0

$x = 0$

ステップ 2.5

x + 3

$x + 3$ を

0

$0$ に等しくし、

x

$x$ を解きます。

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ステップ 2.5.1

x + 3

$x + 3$ が

0

$0$ に等しいとします。

x + 3 = 0

$x + 3 = 0$

ステップ 2.5.2

方程式の両辺から

3

$3$ を引きます。

x = - 3

$x = - 3$

x = - 3

$x = - 3$

ステップ 2.6

最終解は

x (x + 3) = 0

$x (x + 3) = 0$ を真にするすべての値です。

x = 0, - 3

$x = 0, - 3$

ステップ 2.7

各根を利用して検定区間を作成します。

x < - 3

$x < - 3$

- 3 < x < 0

$- 3 < x < 0$

x > 0

$x > 0$

ステップ 2.8

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.8.1

区間

x < - 3

$x < - 3$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.1.1

区間

x < - 3

$x < - 3$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = - 6

$x = - 6$

ステップ 2.8.1.2

x

$x$ を元の不等式の

- 6

$- 6$ で置き換えます。

{(- 6)}^{2} + 3 (- 6) \geq 0

${(- 6)}^{2} + 3 (- 6) \geq 0$

ステップ 2.8.1.3

左辺

18

$18$ は右辺

0

$0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.2

区間

- 3 < x < 0

$- 3 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.2.1

区間

- 3 < x < 0

$- 3 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = - 2

$x = - 2$

ステップ 2.8.2.2

x

$x$ を元の不等式の

- 2

$- 2$ で置き換えます。

{(- 2)}^{2} + 3 (- 2) \geq 0

${(- 2)}^{2} + 3 (- 2) \geq 0$

ステップ 2.8.2.3

左辺

- 2

$- 2$ は右辺

0

$0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.8.3

区間

x > 0

$x > 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.8.3.1

区間

x > 0

$x > 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

x = 2

$x = 2$

ステップ 2.8.3.2

x

$x$ を元の不等式の

2

$2$ で置き換えます。

{(2)}^{2} + 3 (2) \geq 0

${(2)}^{2} + 3 (2) \geq 0$

ステップ 2.8.3.3

左辺

10

$10$ は右辺

0

$0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.8.4

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

x < - 3

$x < - 3$ 真

- 3 < x < 0

$- 3 < x < 0$ 偽

x > 0

$x > 0$ 真

x < - 3

$x < - 3$ 真

- 3 < x < 0

$- 3 < x < 0$ 偽

x > 0

$x > 0$ 真

ステップ 2.9

解はすべての真の区間からなります。

x \leq - 3

$x \leq - 3$ または

x \geq 0

$x \geq 0$

x \leq - 3

$x \leq - 3$ または

x \geq 0

$x \geq 0$

ステップ 3

定義域は式が定義になる

x

$x$ のすべての値です。

区間記号：

(- \infty, - 3] \cup [0, \infty)

$(- \infty, - 3] \cup [0, \infty)$

集合の内包的記法：

{x | x \leq - 3, x \geq 0}

${x | x \leq - 3, x \geq 0}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

微分積分学準備例