微分積分学準備例

f (t) = 330 {(1.04)}^{30 t}

$f (t) = 330 {(1.04)}^{30 t}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

\frac{f (t + h) - f t}{h}

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

x = t + h

$x = t + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数

t

$t$ を

t + h

$t + h$ で置換えます。

f (t + h) = 330 {(1.04)}^{30 (t + h)}

$f (t + h) = 330 {(1.04)}^{30 (t + h)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは

330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ です。

330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}

$f (t + h) = 330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$

f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}

$f (t) = 330 \cdot {1.04}^{30 t}$

ステップ 3

成分に代入します。

\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - (330 \cdot {1.04}^{30 t})}{h}

$\frac{f (t + h) - f t}{h} = \frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - (330 \cdot {1.04}^{30 t})}{h}$

ステップ 4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

- 1

$- 1$ に

330

$330$ をかけます。

\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

ステップ 4.2

因数分解した形で

330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

330

$330$ を

330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

330

$330$ を

330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h}$ で因数分解します。

\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} - 330 \cdot {1.04}^{30 t}}{h}$

ステップ 4.2.1.2

330

$330$ を

- 330 \cdot {1.04}^{30 t}

$- 330 \cdot {1.04}^{30 t}$ で因数分解します。

\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})}{h}

$\frac{330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})}{h}$

ステップ 4.2.1.3

330

$330$ を

330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})

$330 \cdot {1.04}^{30 t + 30 h} + 330 (- {1.04}^{30 t})$ で因数分解します。

\frac{330 ({1.04}^{30 t + 30 h} - {1.04}^{30 t})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{30 t + 30 h} - {1.04}^{30 t})}{h}$

\frac{330 ({1.04}^{30 t + 30 h} - {1.04}^{30 t})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{30 t + 30 h} - {1.04}^{30 t})}{h}$

ステップ 4.2.2

{1.04}^{30 t + 30 h}

${1.04}^{30 t + 30 h}$ を

{({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3}

${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3}$ に書き換えます。

\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {1.04}^{30 t})}{h}

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {1.04}^{30 t})}{h}$

ステップ 4.2.3

{1.04}^{30 t}

${1.04}^{30 t}$ を

{({1.04}^{10 t})}^{3}

${({1.04}^{10 t})}^{3}$ に書き換えます。

\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {({1.04}^{10 t})}^{3})}{h}

$\frac{330 ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{3} - {({1.04}^{10 t})}^{3})}{h}$

ステップ 4.2.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、

a = {1.04}^{10 t + 10 h}

$a = {1.04}^{10 t + 10 h}$ であり、

b = {1.04}^{10 t}

$b = {1.04}^{10 t}$ です。

\frac{330 (({1.04}^{10 t + 10 h} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}

$\frac{330 (({1.04}^{10 t + 10 h} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

{1.04}^{10 t + 10 h}

${1.04}^{10 t + 10 h}$ を

{({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2}

${({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2}$ に書き換えます。

\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {1.04}^{10 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.2

{1.04}^{10 t}

${1.04}^{10 t}$ を

{({1.04}^{5 t})}^{2}

${({1.04}^{5 t})}^{2}$ に書き換えます。

\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {({1.04}^{5 t})}^{2}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}

$\frac{330 (({({1.04}^{5 t + 5 h})}^{2} - {({1.04}^{5 t})}^{2}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、

a = {1.04}^{5 t + 5 h}

$a = {1.04}^{5 t + 5 h}$ であり、

b = {1.04}^{5 t}

$b = {1.04}^{5 t}$ です。

\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h} \cdot {1.04}^{10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4

指数を足して

{1.04}^{10 t + 10 h}

${1.04}^{10 t + 10 h}$ に

{1.04}^{10 t}

${1.04}^{10 t}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.4.1

べき乗則

a^{m} a^{n} = a^{m + n}

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h + 10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{10 t + 10 h + 10 t} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4.2

10 t

$10 t$ と

10 t

$10 t$ をたし算します。

\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}

$\frac{330 (({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2}))}{h}$

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

ステップ 4.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

{({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2}

${({1.04}^{10 t + 10 h})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{(10 t + 10 h) \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{(10 t + 10 h) \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

ステップ 4.3.1.2

分配則を当てはめます。

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{10 t \cdot 2 + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{10 t \cdot 2 + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

ステップ 4.3.1.3

2

$2$ に

10

$10$ をかけます。

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 10 h \cdot 2} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

ステップ 4.3.1.4

2

$2$ に

10

$10$ をかけます。

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {({1.04}^{10 t})}^{2})}{h}$

ステップ 4.3.2

{({1.04}^{10 t})}^{2}

${({1.04}^{10 t})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数

{(a^{m})}^{n} = a^{m n}

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{10 t \cdot 2})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{10 t \cdot 2})}{h}$

ステップ 4.3.2.2

2

$2$ に

10

$10$ をかけます。

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}$

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}$

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}$

\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}

$\frac{330 ({1.04}^{5 t + 5 h} + {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{5 t + 5 h} - {1.04}^{5 t}) ({1.04}^{20 t + 20 h} + {1.04}^{20 t + 10 h} + {1.04}^{20 t})}{h}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例