微分積分学準備例

$f (x) = e^{x - 3} + 2$ , $[3, 6]$

ステップ 1

$f (x) = e^{x - 3} + 2$ を方程式で書きます。

$y = e^{x - 3} + 2$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (6) - f (3)}{(6) - (3)}$

ステップ 2.2

式 $y = e^{x - 3} + 2$ を $f (6)$ と $f (3)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(e^{(6) - 3} + 2) - (e^{(3) - 3} + 2)}{(6) - (3)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$6$ から $3$ を引きます。

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{3 - 3} + 2)}{6 - (3)}$

ステップ 3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$3$ から $3$ を引きます。

$\frac{e^{3} + 2 - (e^{0} + 2)}{6 - (3)}$

ステップ 3.1.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{e^{3} + 2 - (1 + 2)}{6 - (3)}$

ステップ 3.1.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{e^{3} + 2 - 1 \cdot 3}{6 - (3)}$

ステップ 3.1.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{e^{3} + 2 - 3}{6 - (3)}$

ステップ 3.1.5

$2$ から $3$ を引きます。

$\frac{e^{3} - 1}{6 - (3)}$

ステップ 3.1.6

因数分解した形で $e^{3} - 1$ を書き換えます。

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ステップ 3.1.6.1

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{e^{3} - 1^{3}}{6 - (3)}$

ステップ 3.1.6.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e \cdot 1 + 1^{2})}{6 - (3)}$

ステップ 3.1.6.3

簡約します。

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ステップ 3.1.6.3.1

$e$ に $1$ をかけます。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1^{2})}{6 - (3)}$

ステップ 3.1.6.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - (3)}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{6 - 3}$

ステップ 3.2.2

$6$ から $3$ を引きます。

$\frac{(e - 1) (e^{2} + e + 1)}{3}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例