微分積分学準備例

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{4} x$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.3.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.3.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.4

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.5.1

$\frac{1}{2}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.5.2.1

$2$ を $2 h x$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5.2.2

共通因数を約分します。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5.2.3

式を書き換えます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.5.3

$\frac{1}{2}$ と $h^{2}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} \cdot (x + h)$

ステップ 2.1.2.1.6

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{1}{4} x + \frac{1}{4} h$

ステップ 2.1.2.1.7

$\frac{1}{4}$ と $x$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{1}{4} h$

ステップ 2.1.2.1.8

$\frac{1}{4}$ と $h$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$ です。

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x}{4} + \frac{h}{4}$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$\frac{x}{4}$ を移動させます。

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

ステップ 2.2.2

$\frac{x^{2}}{2}$ を移動させます。

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

ステップ 2.2.3

$h x$ と $\frac{h^{2}}{2}$ を並べ替えます。

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4}$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - (\frac{x^{2}}{2} + \frac{x}{4})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.2

$h x$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + x h + \frac{x^{2}}{2} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.3

$x h$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + x h \cdot \frac{4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.4

$x h$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4}{4} + \frac{h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.6

$\frac{h^{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.7

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.7.1

$\frac{h^{2}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.7.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2}{4} + \frac{x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.9

$\frac{x^{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.10

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.10.1

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.10.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{4} + \frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.11

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4} + \frac{x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.12

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.13

$- \frac{x^{2}}{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.14

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $4$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.14.1

$\frac{x^{2}}{2}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.14.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x}{4} - \frac{x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.15

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2}{4} - \frac{x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17

因数分解した形で $\frac{x^{2} \cdot 2 + h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x^{2} \cdot 2 - x}{4}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.17.1

$x^{2} \cdot 2$ から $x^{2} \cdot 2$ を引きます。

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x + 0 - x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.2

$h^{2} \cdot 2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + x - x}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.3

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h + 0}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.4

$h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.5

$h$ を $h^{2} \cdot 2 + x h \cdot 4 + h$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.17.5.1

$h$ を $h^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + x (h) \cdot 4 + h}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.5.2

$h$ を $x h \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.5.3

$h$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h^{1}}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.5.4

$h$ を $h^{1}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.5.5

$h$ を $h (h \cdot 2) + h (x \cdot 4)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.5.6

$h$ を $h (h \cdot 2 + x \cdot 4) + h \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h \cdot 2 + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.6

$2$ を $h$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{h (2 \cdot h + x \cdot 4 + 1)}{4}}{h}$

ステップ 4.1.17.7

$4$ を $x$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (2 h + 4 x + 1)}{4} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 h + 4 x + 1}{4}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例