微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ , $[2, 4]$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} - \frac{1}{x}$ を方程式で書きます。

$y = x^{2} - \frac{1}{x}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (4) - f (2)}{(4) - (2)}$

ステップ 2.2

式 $y = x^{2} - \frac{1}{x}$ を $f (4)$ と $f (2)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{({(4)}^{2} - \frac{1}{4}) - ({(2)}^{2} - \frac{1}{2})}{(4) - (2)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分数の分子と分母に $4$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2})}{4 - (2)}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{4 (4^{2} - \frac{1}{4} - (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 (4 - (2))}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (- \frac{1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.3

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cdot 4^{2} + 4 (\frac{- 1}{4}) + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

指数を足して $4$ に $4^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.1.1

$4$ に $4^{2}$ をかけます。

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ステップ 3.4.1.1.1

$4$ を $1$ 乗します。

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{4^{1 + 2} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{4^{3} - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.2

$4$ を $3$ 乗します。

$\frac{64 - 1 + 4 (- (2^{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.3

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.4

$4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{64 - 1 + 4 (- (4 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.5

$4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{64 - 1 + 4 (- (\frac{4 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}))}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{4 \cdot 2 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.7

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.7.1

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{8 - 1}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.7.2

$8$ から $1$ を引きます。

$\frac{64 - 1 + 4 (- \frac{7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.8

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.8.1

$- \frac{7}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{64 - 1 + 4 (\frac{- 7}{2})}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.8.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{64 - 1 + 2 (2) \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.8.3

共通因数を約分します。

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot 2 \frac{- 7}{2}}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.8.4

式を書き換えます。

$\frac{64 - 1 + 2 \cdot - 7}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.9

$2$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{64 - 1 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.10

$64$ から $1$ を引きます。

$\frac{63 - 14}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.4.11

$63$ から $14$ を引きます。

$\frac{49}{4 \cdot 4 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{49}{16 + 4 (- (2))}$

ステップ 3.5.2

$4 (- (2))$ を掛けます。

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ステップ 3.5.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{49}{16 + 4 \cdot - 2}$

ステップ 3.5.2.2

$4$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{49}{16 - 8}$

ステップ 3.5.3

$16$ から $8$ を引きます。

$\frac{49}{8}$

微分積分学準備 例

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