微分積分学準備例

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 (x + h)}}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ です。

$\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

$f (x + h) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$

$f (x) = \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} - (\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ に $\frac{1 + 9 e^{- 3 x}}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ をかけます。

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}} \cdot \frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{20}{1 + 9 e^{- 3 x}}$ に $\frac{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}{1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}}$ をかけます。

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(1 + 9 e^{- 3 x}) (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} - \frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.1

$20$ を $20 (1 + 9 e^{- 3 x}) - 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.1.1

$20$ を $- 20 (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 20 (- (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

$20$ を $20 (1 + 9 e^{- 3 x}) + 20 (- (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 \cdot 1 - (9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 - (9 e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{20 (1 + 9 e^{- 3 x} - 1 - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{20 (9 e^{- 3 x} + 0 - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

$9 e^{- 3 x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{20 (9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

因数分解した形で $9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.5.7.1

$9$ を $9 e^{- 3 x} - 9 e^{- 3 x - 3 h}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.7.1.1

$9$ を $9 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x}) - 9 e^{- 3 x - 3 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.1.2

$9$ を $- 9 e^{- 3 x - 3 h}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x}) + 9 (- e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.1.3

$9$ を $9 (e^{- 3 x}) + 9 (- e^{- 3 x - 3 h})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- 3 x} - e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.2

$e^{- 3 x}$ を ${(e^{- x})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{20 (9 ({(e^{- x})}^{3} - e^{- 3 x - 3 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.3

$e^{- 3 x - 3 h}$ を ${(e^{- x - h})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{20 (9 ({(e^{- x})}^{3} - {(e^{- x - h})}^{3}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{- x}$ であり、 $b = e^{- x - h}$ です。

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) ({(e^{- x})}^{2} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.5

簡約します。

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ステップ 4.1.5.7.5.1

${(e^{- x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.5.7.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- x \cdot 2} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.5.1.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- x} e^{- x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.5.2

指数を足して $e^{- x}$ に $e^{- x - h}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.5.7.5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- x - x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.5.2.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x - h})}^{2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.5.3

${(e^{- x - h})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.1.5.7.5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{(- x - h) \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.5.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.5.3.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - h \cdot 2})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.7.5.3.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{20 (9 ((e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{20 (9 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h}))}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

$\frac{\frac{20 \cdot 9 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$20$ に $9$ をかけます。

$\frac{\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

まとめる。

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h}) \cdot 1}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$180$ に $1$ をかけます。

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$

ステップ 4.4.2

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{(1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x}) h}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{180 (e^{- x} - e^{- x - h}) (e^{- 2 x} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x - 2 h})}{h (1 + 9 e^{- 3 x - 3 h}) (1 + 9 e^{- 3 x})}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例