微分積分学準備例

$f (x) = e^{x - 1} + 3$ , $[1, 5]$

ステップ 1

$f (x) = e^{x - 1} + 3$ を方程式で書きます。

$y = e^{x - 1} + 3$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (5) - f (1)}{(5) - (1)}$

ステップ 2.2

式 $y = e^{x - 1} + 3$ を $f (5)$ と $f (1)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(e^{(5) - 1} + 3) - (e^{(1) - 1} + 3)}{(5) - (1)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{1 - 1} + 3)}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.2.1

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{e^{4} + 3 - (e^{0} + 3)}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.2.2

$0$ にべき乗するものは $1$ となります。

$\frac{e^{4} + 3 - (1 + 3)}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.3

$1$ と $3$ をたし算します。

$\frac{e^{4} + 3 - 1 \cdot 4}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.4

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{e^{4} + 3 - 4}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.5

$3$ から $4$ を引きます。

$\frac{e^{4} - 1}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.6

因数分解した形で $e^{4} - 1$ を書き換えます。

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ステップ 3.1.6.1

$e^{4}$ を ${(e^{2})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.6.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{2})}^{2} - 1^{2}}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.6.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.6.4

簡約します。

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ステップ 3.1.6.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{5 - (1)}$

ステップ 3.1.6.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - (1)}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{5 - 1}$

ステップ 3.2.2

$5$ から $1$ を引きます。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{4}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例