微分積分学準備例

$f (x) = 2 x^{- \frac{14}{5}}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 2 {(x + h)}^{- \frac{14}{5}}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f (x + h) = 2 (\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}})$

ステップ 2.1.2.2

$2$ と $\frac{1}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ です。

$\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$

$f (x + h) = \frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

$f (x) = \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}} - (\frac{2}{x^{\frac{14}{5}}})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{2}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ に $\frac{x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}}}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2}{x^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{2}{x^{\frac{14}{5}}}$ に $\frac{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}}}{{(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}} - \frac{2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

${(x + h)}^{\frac{14}{5}} x^{\frac{14}{5}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}} - \frac{2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2 x^{\frac{14}{5}} - 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

$2$ を $2 x^{\frac{14}{5}} - 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.1.1

$2$ を $2 x^{\frac{14}{5}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{14}{5}}) - 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

$2$ を $- 2 {(x + h)}^{\frac{14}{5}}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{14}{5}}) + 2 (- {(x + h)}^{\frac{14}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

$2$ を $2 (x^{\frac{14}{5}}) + 2 (- {(x + h)}^{\frac{14}{5}})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{14}{5}} - {(x + h)}^{\frac{14}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

$x^{\frac{14}{5}}$ を ${(x^{\frac{7}{5}})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2 ({(x^{\frac{7}{5}})}^{2} - {(x + h)}^{\frac{14}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

${(x + h)}^{\frac{14}{5}}$ を ${({(x + h)}^{\frac{7}{5}})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\frac{2 ({(x^{\frac{7}{5}})}^{2} - {({(x + h)}^{\frac{7}{5}})}^{2})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x^{\frac{7}{5}}$ であり、 $b = {(x + h)}^{\frac{7}{5}}$ です。

$\frac{\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

まとめる。

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) \cdot 1}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}} h}$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}} h}$

ステップ 4.4.2

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}} h}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2 (x^{\frac{7}{5}} + {(x + h)}^{\frac{7}{5}}) (x^{\frac{7}{5}} - {(x + h)}^{\frac{7}{5}})}{h x^{\frac{14}{5}} {(x + h)}^{\frac{14}{5}}}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例