微分積分学準備例

$f (x) = 4 e^{x}$ , $[- 2, 2]$

ステップ 1

$f (x) = 4 e^{x}$ を方程式で書きます。

$y = 4 e^{x}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (2) - f (- 2)}{(2) - (- 2)}$

ステップ 2.2

式 $y = 4 e^{x}$ を $f (2)$ と $f (- 2)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(4 e^{2}) - (4 e^{- 2})}{(2) - (- 2)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$4 e^{2}$ を ${(2 e)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 e)}^{2} - 1 \cdot 4 e^{- 2}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.2

$4 e^{- 2}$ を ${(2 e^{- 1})}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{{(2 e)}^{2} - {(2 e^{- 1})}^{2}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.3

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 2 e$ であり、 $b = 2 e^{- 1}$ です。

$\frac{(2 e + 2 e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.4

簡約します。

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ステップ 3.1.4.1

$2$ を $2 e + 2 e^{- 1}$ で因数分解します。

$\frac{2 (e + e^{- 1}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.4.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - (2 e^{- 1}))}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.4.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 (e + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.5

$e$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$\frac{2 (\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \frac{e e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.7

$e e$ を掛けます。

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ステップ 3.1.7.1

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \frac{e^{1} e + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.7.2

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.7.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.7.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 e^{- 1})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.8

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.8.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - 2 \frac{1}{e})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.8.2

$- 2$ と $\frac{1}{e}$ をまとめます。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e + \frac{- 2}{e})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.8.3

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (2 e - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.9

$2 e$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e}{e}$ を掛けます。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{2 e e}{e} - \frac{2}{e})}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e e - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.11

$2 e e$ を掛けます。

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ステップ 3.1.11.1

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.11.2

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 (e^{1} e^{1}) - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.11.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{1 + 1} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.11.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \frac{e^{2} + 1}{e} \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.12

指数をまとめます。

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ステップ 3.1.12.1

$2$ と $\frac{e^{2} + 1}{e}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1)}{e} \cdot \frac{2 e^{2} - 2}{e}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.12.2

$\frac{2 (e^{2} + 1)}{e}$ に $\frac{2 e^{2} - 2}{e}$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e e}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.12.3

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.12.4

$e$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1} e^{1}}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.12.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{1 + 1}}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.1.12.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 - (- 2)}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{2 + 2}$

ステップ 3.2.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}}}{4}$

ステップ 3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{4}$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

まとめる。

$\frac{2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1}{e^{2} \cdot 4}$

ステップ 3.4.2

$2$ と $4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$2$ を $2 (e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 4}$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.2.1

$2$ を $e^{2} \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

ステップ 3.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1)}{2 (e^{2} \cdot 2)}$

ステップ 3.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

ステップ 3.4.3

$2 e^{2} - 2$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.1

$2$ を $((e^{2} + 1) (2 e^{2} - 2)) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{e^{2} \cdot 2}$

ステップ 3.4.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.2.1

$2$ を $e^{2} \cdot 2$ で因数分解します。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

ステップ 3.4.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1)}{2 \cdot e^{2}}$

ステップ 3.4.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{((e^{2} + 1) (e^{2} - 1)) \cdot 1}{e^{2}}$

ステップ 3.4.4

$e^{2} + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1)}{e^{2}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{2} + 1) (e^{2} - 1^{2})}{e^{2}}$

ステップ 3.5.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}$

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