微分積分学準備例

$f (t) = t^{- 3}$ ;, $(\frac{1}{2}, 8)$

ステップ 1

$f (t) = t^{- 3}$ を方程式で書きます。

$y = t^{- 3}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $t$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (8) - f (\frac{1}{2})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

ステップ 2.2

式 $y = t^{- 3}$ を $f (8)$ と $f (\frac{1}{2})$ に代入し、関数の $t$ を対応する $t$ 値に置換します。

$\frac{({(8)}^{- 3}) - ({(\frac{1}{2})}^{- 3})}{(8) - (\frac{1}{2})}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分数の分子と分母に $2$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3}}{8 - \frac{1}{2}}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{2 (8^{- 3} - {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 (8 - \frac{1}{2})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (- \frac{1}{2})}$

ステップ 3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 + 2 (\frac{- 1}{2})}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot 8^{- 3} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{2 \cdot \frac{1}{8^{3}} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.2

$8$ を $3$ 乗します。

$\frac{2 \cdot \frac{1}{512} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.3.1

$2$ を $512$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 (256)} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot \frac{1}{2 \cdot 256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- {(\frac{1}{2})}^{- 3})}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.4

底を逆数に書き換えて、指数の符号を変更します。

$\frac{\frac{1}{256} + 2 (- 2^{3})}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.5

指数を足して $2$ に $2^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.4.5.1

$2^{3}$ を移動させます。

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.5.2

$2^{3}$ に $2$ をかけます。

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ステップ 3.4.5.2.1

$2$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3} \cdot 2^{1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.5.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{3 + 1} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.5.3

$3$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1}{256} + 2^{4} \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.6

$2$ を $4$ 乗します。

$\frac{\frac{1}{256} + 16 \cdot - 1}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.7

$16$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{1}{256} - 16}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.8

$- 16$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{256}{256}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{256} - 16 \cdot \frac{256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.9

$- 16$ と $\frac{256}{256}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{256} + \frac{- 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 - 16 \cdot 256}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.11

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.11.1

$- 16$ に $256$ をかけます。

$\frac{\frac{1 - 4096}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.11.2

$1$ から $4096$ を引きます。

$\frac{\frac{- 4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.4.12

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{4095}{256}}{2 \cdot 8 - 1}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2$ に $8$ をかけます。

$\frac{- \frac{4095}{256}}{16 - 1}$

ステップ 3.5.2

$16$ から $1$ を引きます。

$\frac{- \frac{4095}{256}}{15}$

ステップ 3.6

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

ステップ 3.7

$15$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.7.1

$- \frac{4095}{256}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 4095}{256} \cdot \frac{1}{15}$

ステップ 3.7.2

$15$ を $- 4095$ で因数分解します。

$\frac{15 (- 273)}{256} \cdot \frac{1}{15}$

ステップ 3.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{15 \cdot - 273}{256} \cdot \frac{1}{15}$

ステップ 3.7.4

式を書き換えます。

$\frac{- 273}{256}$

ステップ 3.8

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{273}{256}$

微分積分学準備 例

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