微分積分学準備例

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ です。

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

$f (x + h) = \frac{3}{{(x + h)}^{3}}$

$f (x) = \frac{3}{x^{3}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} - (\frac{3}{x^{3}})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{3}{x^{3}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{3}{{(x + h)}^{3}} \cdot \frac{x^{3}}{x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を ${(x + h)}^{3} x^{3}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{3}{{(x + h)}^{3}}$ に $\frac{x^{3}}{x^{3}}$ をかけます。

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3}{x^{3}} \cdot \frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{3}{x^{3}}$ に $\frac{{(x + h)}^{3}}{{(x + h)}^{3}}$ をかけます。

$\frac{\frac{3 x^{3}}{{(x + h)}^{3} x^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

${(x + h)}^{3} x^{3}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{3 x^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}} - \frac{3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.5.1

$3$ を $3 x^{3} - 3 {(x + h)}^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.5.1.1

$3$ を $3 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (x^{3}) - 3 {(x + h)}^{3}}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

$3$ を $- 3 {(x + h)}^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

$3$ を $3 (x^{3}) + 3 (- {(x + h)}^{3})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{3 (x^{3} - {(x + h)}^{3})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x$ であり、 $b = x + h$ です。

$\frac{\frac{3 ((x - (x + h)) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

簡約します。

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ステップ 4.1.5.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{3 ((x - x - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.2

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{\frac{3 ((0 - h) (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.3

$0$ から $h$ を引きます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x (x + h) + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x \cdot x + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.5

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + {(x + h)}^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.6

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + (x + h) (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.7

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

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ステップ 4.1.5.3.7.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x (x + h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.7.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x (h) + x \cdot x + x (h) + h (x + h)))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.7.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.8

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1.5.3.8.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.5.3.8.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h \cdot h))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.8.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + h x + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.8.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

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ステップ 4.1.5.3.8.2.1

$h$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + x h + x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.8.2.2

$x h$ と $x h$ をたし算します。

$\frac{\frac{3 (- h (x^{2} + x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.9

$x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\frac{3 (- h (2 x^{2} + x h + x^{2} + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.10

$2 x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + x h + 2 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.11

$x h$ と $2 x h$ をたし算します。

$\frac{\frac{3 (- h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{3 \cdot - 1 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

指数をまとめます。

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ステップ 4.1.5.4.1

負をくくり出します。

$\frac{\frac{- (3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.5.4.2

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{- 3 (h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

$\frac{\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.1.6

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

$- \frac{3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

$h$ を $- 3 h (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})$ で因数分解します。

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.3

共通因数を約分します。

$\frac{h (- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2}))}{x^{3} {(x + h)}^{3}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.4

式を書き換えます。

$\frac{- 3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

ステップ 4.4

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{3 (3 x^{2} + 3 x h + h^{2})}{x^{3} {(x + h)}^{3}}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例