微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{x^{2} - 1}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} - 1}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$f (x + h) = \sqrt{{(x + h)}^{2} - 1^{2}}$

ステップ 2.1.2.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x + h$ であり、 $b = 1$ です。

$f (x + h) = \sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$ です。

$\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

$f (x) = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

$f (x + h) = \sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)}$

$f (x) = \sqrt{(x + 1) (x - 1)}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)} - (\sqrt{(x + 1) (x - 1)})}{h}$

ステップ 4

$- 1$ に $\sqrt{(x + 1) (x - 1)}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{(x + h + 1) (x + h - 1)} - \sqrt{(x + 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 5

微分積分学準備 例