微分積分学準備例

$f (x) = \frac{- 1}{x^{2} - 36}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 36}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1.1

$36$ を $6^{2}$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{- 1}{{(x + h)}^{2} - 6^{2}}$

ステップ 2.1.2.1.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = x + h$ であり、 $b = 6$ です。

$f (x + h) = \frac{- 1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

ステップ 2.1.2.2

分数の前に負数を移動させます。

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ です。

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

$f (x + h) = - \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$

$f (x) = - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} - (- \frac{1}{(x + 6) (x - 6)})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- - \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + 1 \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.1.2

$\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ を掛けます。

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ を掛けます。

$\frac{- \frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)} \cdot \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h + 6) (x + h - 6) (x + 6) (x - 6)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.4.1

$\frac{1}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ に $\frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x - 6)}$ をかけます。

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{1}{(x + 6) (x - 6)} \cdot \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.4.2

$\frac{1}{(x + 6) (x - 6)}$ に $\frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6)}$ をかけます。

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

ステップ 4.1.4.3

$(x + h + 6) (x + h - 6) ((x + 6) (x - 6))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))}}{h}$

ステップ 4.1.4.4

$(x + 6) (x - 6) ((x + h + 6) (x + h - 6))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- \frac{(x + 6) (x - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} + \frac{(x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- (x + 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{(- x - 1 \cdot 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.2

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{\frac{(- x - 6) (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.3

分配法則（FOIL法）を使って $(- x - 6) (x - 6)$ を展開します。

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ステップ 4.1.6.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{- x (x - 6) - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 (x - 6) + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{- x \cdot x - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 4.1.6.4.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.6.4.1.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 4.1.6.4.1.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{\frac{- (x \cdot x) - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.1.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{- x^{2} - x \cdot - 6 - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.1.2

$- 6$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x - 6 \cdot - 6 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.1.3

$- 6$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 6 x - 6 x + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.2

$6 x$ から $6 x$ を引きます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 0 + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4.3

$- x^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + (x + h + 6) (x + h - 6)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.5

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(x + h + 6) (x + h - 6)$ を展開します。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.6

$x \cdot x + x h + x \cdot - 6 + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6$ の反対側の項を組み合わせます。

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ステップ 4.1.6.6.1

$x \cdot - 6$ と $6 x$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h - 6 x + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 x + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.6.2

$- 6 x$ と $6 x$ をたし算します。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 0 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.6.3

$x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + h \cdot - 6 + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.6.4

$h \cdot - 6$ と $6 h$ について因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h - 6 h + 6 h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.6.5

$- 6 h$ と $6 h$ をたし算します。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 0 + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.6.6

$x \cdot x + x h + h x + h \cdot h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x \cdot x + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.7

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.6.7.1

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h \cdot h + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.7.2

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} + 6 \cdot - 6}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.7.3

$6$ に $- 6$ をかけます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + h x + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.8

$x h$ と $h x$ をたし算します。

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ステップ 4.1.6.8.1

$h$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + x h + x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.8.2

$x h$ と $x h$ をたし算します。

$\frac{\frac{- x^{2} + 36 + x^{2} + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.9

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\frac{0 + 36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.10

$0$ と $36$ をたし算します。

$\frac{\frac{36 + 2 x h + h^{2} - 36}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.11

$36$ から $36$ を引きます。

$\frac{\frac{2 x h + h^{2} + 0}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.12

$2 x h + h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{2 x h + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.13

$h$ を $2 x h + h^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.6.13.1

$h$ を $2 x h$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (2 x) + h^{2}}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.13.2

$h$ を $h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (2 x) + h (h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.1.6.13.3

$h$ を $h (2 x) + h (h)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (2 x + h)}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x + h}{(x + 6) (x + h + 6) (x + h - 6) (x - 6)}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例