微分積分学準備例

$f (x) = 6 e^{x}$ , $[- 3, 3]$

ステップ 1

$f (x) = 6 e^{x}$ を方程式で書きます。

$y = 6 e^{x}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (3) - f (- 3)}{(3) - (- 3)}$

ステップ 2.2

式 $y = 6 e^{x}$ を $f (3)$ と $f (- 3)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(6 e^{3}) - (6 e^{- 3})}{(3) - (- 3)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$- 1$ に $6$ をかけます。

$\frac{6 e^{3} - 6 e^{- 3}}{3 - (- 3)}$

ステップ 3.1.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$\frac{6 e^{3} - 6 \frac{1}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

ステップ 3.1.3

$- 6$ と $\frac{1}{e^{3}}$ をまとめます。

$\frac{6 e^{3} + \frac{- 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

ステップ 3.1.4

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{6 e^{3} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

ステップ 3.1.5

$6 e^{3}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{e^{3}}{e^{3}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3}}{e^{3}} - \frac{6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

ステップ 3.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{6 e^{3} e^{3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

ステップ 3.1.7

指数を足して $e^{3}$ に $e^{3}$ を掛けます。

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ステップ 3.1.7.1

$e^{3}$ を移動させます。

$\frac{\frac{6 (e^{3} e^{3}) - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

ステップ 3.1.7.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{6 e^{3 + 3} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

ステップ 3.1.7.3

$3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 - (- 3)}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{3 + 3}$

ステップ 3.2.2

$3$ と $3$ をたし算します。

$\frac{\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}}{6}$

ステップ 3.3

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}} \cdot \frac{1}{6}$

ステップ 3.4

項を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3}}$ に $\frac{1}{6}$ をかけます。

$\frac{6 e^{6} - 6}{e^{3} \cdot 6}$

ステップ 3.4.2

$6 e^{6} - 6$ と $6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$6$ を $6 e^{6}$ で因数分解します。

$\frac{6 (e^{6}) - 6}{e^{3} \cdot 6}$

ステップ 3.4.2.2

$6$ を $- 6$ で因数分解します。

$\frac{6 (e^{6}) + 6 \cdot - 1}{e^{3} \cdot 6}$

ステップ 3.4.2.3

$6$ を $6 (e^{6}) + 6 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{e^{3} \cdot 6}$

ステップ 3.4.2.4

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.4.1

$6$ を $e^{3} \cdot 6$ で因数分解します。

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

ステップ 3.4.2.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{6 (e^{6} - 1)}{6 \cdot e^{3}}$

ステップ 3.4.2.4.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{6} - 1}{e^{3}}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$e^{6}$ を ${(e^{2})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1}{e^{3}}$

ステップ 3.5.2

$1$ を $1^{3}$ に書き換えます。

$\frac{{(e^{2})}^{3} - 1^{3}}{e^{3}}$

ステップ 3.5.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{2}$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e^{2} - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

ステップ 3.5.4

簡約します。

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ステップ 3.5.4.1

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{(e^{2} - 1^{2}) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

ステップ 3.5.4.2

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e$ であり、 $b = 1$ です。

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} \cdot 1 + 1^{2})}{e^{3}}$

ステップ 3.5.4.3

$e^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{(e + 1) (e - 1) ({(e^{2})}^{2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

ステップ 3.5.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.5.5.1

${(e^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.5.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{2 \cdot 2} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

ステップ 3.5.5.1.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1^{2})}{e^{3}}$

ステップ 3.5.5.2

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{(e + 1) (e - 1) (e^{4} + e^{2} + 1)}{e^{3}}$

微分積分学準備 例

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