微分積分学準備例

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$

ステップ 1

$V = \frac{4 π r^{3}}{3}$ を関数で書きます。

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

ステップ 2

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

ステップ 3

決定成分を求めます。

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ステップ 3.1

$x = r + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 3.1.1

式の変数 $r$ を $r + h$ で置換えます。

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

ステップ 3.1.2

最終的な答えは $\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$ です。

$\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

ステップ 3.2

決定成分を求めます。

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

ステップ 4

成分に代入します。

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2

因数分解した形で $\frac{4 π {(r + h)}^{3} - 4 π r^{3}}{3}$ を書き換えます。

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ステップ 5.1.2.1

二項定理を利用します。

$\frac{\frac{4 π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}) - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 4 π (3 r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.3

簡約します。

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ステップ 5.1.2.3.1

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 4 π (3 r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.3.2

$3$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π (r^{2} h) + 12 π (r h^{2}) + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.4

括弧を削除します。

$\frac{\frac{4 π r^{3} + 12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} - 4 π r^{3}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.5

$4 π r^{3}$ から $4 π r^{3}$ を引きます。

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3} + 0}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.6

$12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.7

$4 π h$ を $12 π r^{2} h + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.2.7.1

$4 π h$ を $12 π r^{2} h$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 12 π r h^{2} + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.7.2

$4 π h$ を $12 π r h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h^{3}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.7.3

$4 π h$ を $4 π h^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.7.4

$4 π h$ を $4 π h (3 r^{2}) + 4 π h (3 r h)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.2.7.5

$4 π h$ を $4 π h (3 r^{2} + 3 r h) + 4 π h \cdot h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}}{h}$

ステップ 5.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 5.3

まとめる。

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

ステップ 5.4

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 π h (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3 h}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2}) \cdot 1}{3}$

ステップ 5.5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 π (3 r^{2} + 3 r h + h^{2})}{3}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例