微分積分学準備例

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (t + h) - f t}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = t + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $t$ を $t + h$ で置換えます。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{{(t + h)}^{2} + 4}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.1

${(t + h)}^{2}$ を $(t + h) (t + h)$ に書き換えます。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{(t + h) (t + h) + 4}$

ステップ 2.1.2.1.2

分配法則（FOIL法）を使って $(t + h) (t + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t (t + h) + h (t + h) + 4}$

ステップ 2.1.2.1.2.2

分配則を当てはめます。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h (t + h) + 4}$

ステップ 2.1.2.1.2.3

分配則を当てはめます。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t \cdot t + t h + h t + h \cdot h + 4}$

ステップ 2.1.2.1.3

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.1.1

$t$ に $t$ をかけます。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h \cdot h + 4}$

ステップ 2.1.2.1.3.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + t h + h t + h^{2} + 4}$

ステップ 2.1.2.1.3.2

$t h$ と $h t$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1.3.2.1

$t$ と $h$ を並べ替えます。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + h t + h t + h^{2} + 4}$

ステップ 2.1.2.1.3.2.2

$h t$ と $h t$ をたし算します。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ です。

$\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

$C (t + h) = \frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$

$C (t) = \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{C (t + h) - C t}{h} = \frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} - (\frac{0.2 t}{t^{2} + 4})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

$\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ を掛けます。

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ を掛けます。

$\frac{\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)$ を公分母とする式で書きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.3.1

$\frac{0.2 (t + h)}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ に $\frac{t^{2} + 4}{t^{2} + 4}$ をかけます。

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t}{t^{2} + 4} \cdot \frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

$\frac{0.2 t}{t^{2} + 4}$ に $\frac{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}{t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4}$ をかけます。

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$(t^{2} + 4) (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} - \frac{0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5

因数分解した形で $\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1

$0.2$ を $0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4)$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.1.1

$h$ を移動させます。

$\frac{\frac{0.2 (t + h) (t^{2} + 4) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.2

$0.2$ を $0.2 (t + h) (t^{2} + 4)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) - 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.3

$0.2$ を $- 0.2 t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.1.4

$0.2$ を $0.2 ((t + h) (t^{2} + 4)) + 0.2 (- t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))$ で因数分解します。

$\frac{\frac{0.2 ((t + h) (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2

分配法則（FOIL法）を使って $(t + h) (t^{2} + 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{0.2 (t (t^{2} + 4) + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h (t^{2} + 4) - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{0.2 (t \cdot t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.1

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.1.1

$t$ に $t^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.3.1.1.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{0.2 (t^{1} t^{2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.1.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{1 + 2} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.1.2

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + t \cdot 4 + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.2

$4$ を $t$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 \cdot t + h t^{2} + h \cdot 4 - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.3.3

$4$ を $h$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t (t^{2} + 2 t h + h^{2} + 4))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t \cdot t^{2} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.5.1

指数を足して $t$ に $t^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.5.1.1

$t^{2}$ を移動させます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.1.2

$t^{2}$ に $t$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.5.1.2.1

$t$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - (t^{2} t^{1}) - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.1.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{2 + 1} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.1.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t (2 t h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.2

指数を足して $t$ に $t$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.5.2.1

$t$ を移動させます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - (t \cdot t) (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.2.2

$t$ に $t$ をかけます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - t \cdot 4)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.5.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - t^{2} (2 h) - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.6.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 1 \cdot 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.6.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{3} + 4 t + h t^{2} + 4 h - t^{3} - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.7

$t^{3}$ から $t^{3}$ を引きます。

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h + 0 - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.8

$4 t$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{0.2 (4 t + h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} - 4 t)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.9

$4 t$ から $4 t$ を引きます。

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2} + 0)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.10

$h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{0.2 (h t^{2} + 4 h - 2 t^{2} h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11

$h t^{2}$ から $2 t^{2} h$ を引きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.11.1

$h$ と $t^{2}$ を並べ替えます。

$\frac{\frac{0.2 (t^{2} h - 2 t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.11.2

$t^{2} h$ から $2 t^{2} h$ を引きます。

$\frac{\frac{0.2 (- t^{2} h + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12

$h$ を $- t^{2} h + 4 h - t h^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.5.12.1

$h$ を $- t^{2} h$ で因数分解します。

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + 4 h - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12.2

$h$ を $4 h$ で因数分解します。

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 - t h^{2})}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12.3

$h$ を $- t h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2}) + h \cdot 4 + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12.4

$h$ を $h (- t^{2}) + h \cdot 4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4) + h (- t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.1.5.12.5

$h$ を $h (- t^{2} + 4) + h (- t h)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{0.2 (h (- t^{2} + 4 - t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

$\frac{\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

まとめる。

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

ステップ 4.4

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{0.2 h (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4) h}$

ステップ 4.4.2

式を書き換えます。

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h) \cdot 1}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

ステップ 4.5

$0.2$ に $1$ をかけます。

$\frac{0.2 (- t^{2} + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

ステップ 4.6

$- 1$ を $- t^{2}$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (- (t^{2}) + 4 - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

ステップ 4.7

$4$ を $- 1 (- 4)$ に書き換えます。

$\frac{0.2 (- (t^{2}) - 1 (- 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

ステップ 4.8

$- 1$ を $- (t^{2}) - 1 (- 4)$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

ステップ 4.9

$- 1$ を $- t h$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4) - (t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

ステップ 4.10

$- 1$ を $- (t^{2} - 4) - (t h)$ で因数分解します。

$\frac{0.2 (- (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

ステップ 4.11

式を簡約します。

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ステップ 4.11.1

$- (t^{2} - 4 + t h)$ を $- 1 (t^{2} - 4 + t h)$ に書き換えます。

$\frac{0.2 (- 1 (t^{2} - 4 + t h))}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

ステップ 4.11.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{0.2 (t^{2} - 4 + t h)}{(t^{2} + 2 h t + h^{2} + 4) (t^{2} + 4)}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例