微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} + x - 1$ ;, $[- 2, - \frac{7}{4}]$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + x - 1$ を方程式で書きます。

$y = x^{2} + x - 1$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (- \frac{7}{4}) - f (- 2)}{(- \frac{7}{4}) - (- 2)}$

ステップ 2.2

式 $y = x^{2} + x - 1$ を $f (- \frac{7}{4})$ と $f (- 2)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{(- \frac{7}{4}) - (- 2)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

括弧を削除します。

$\frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{(- \frac{7}{4}) - (- 2)}$

ステップ 3.2

分数の分子と分母に $4$ を掛けます。

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ステップ 3.2.1

$\frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{- \frac{7}{4} - (- 2)}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{{(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1)}{- \frac{7}{4} - (- 2)}$

ステップ 3.2.2

まとめる。

$\frac{4 ({(- \frac{7}{4})}^{2} - \frac{7}{4} - 1 - ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4} - (- 2))}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 4 (- \frac{7}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.4

約分で簡約します。

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ステップ 3.4.1

$4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

$- \frac{7}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 7}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.4.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} + 4 (\frac{- 7}{4}) + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.4.1.3

式を書き換えます。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (- \frac{7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.4.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.2.1

$- \frac{7}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (\frac{- 7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.4.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{4 (\frac{- 7}{4}) + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.4.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 {(- \frac{7}{4})}^{2} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.5.1.1

積の法則を $- \frac{7}{4}$ に当てはめます。

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{4})}^{2}) - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.1.2

積の法則を $\frac{7}{4}$ に当てはめます。

$\frac{4 ({(- 1)}^{2} \frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{4 (1 \frac{7^{2}}{4^{2}}) - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.3

$\frac{7^{2}}{4^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 \frac{7^{2}}{4^{2}} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.4

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.4.1

$4$ を $4^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 \frac{7^{2}}{4 \cdot 4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \frac{7^{2}}{4 \cdot 4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{7^{2}}{4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.5

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 + 4 \cdot - 1 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.6

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- ({(- 2)}^{2} - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.7

$- 2$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- (4 - 2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.8

$4$ から $2$ を引きます。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- (2 - 1))}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.9

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 (- 1 \cdot 1)}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.10

$4 (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 3.5.10.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 + 4 \cdot - 1}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.10.2

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.11

$- 7$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\frac{49}{4} - 7 \cdot \frac{4}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.12

$- 7$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{49}{4} + \frac{- 7 \cdot 4}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{49 - 7 \cdot 4}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.14

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.14.1

$- 7$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{49 - 28}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.14.2

$49$ から $28$ を引きます。

$\frac{\frac{21}{4} - 4 - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.15

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\frac{21}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.16

$- 4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{21}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{21 - 4 \cdot 4}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.18

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.18.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{21 - 16}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.18.2

$21$ から $16$ を引きます。

$\frac{\frac{5}{4} - 4}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.19

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{4}{4}$ を掛けます。

$\frac{\frac{5}{4} - 4 \cdot \frac{4}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.20

$- 4$ と $\frac{4}{4}$ をまとめます。

$\frac{\frac{5}{4} + \frac{- 4 \cdot 4}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.21

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{5 - 4 \cdot 4}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.22

分子を簡約します。

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ステップ 3.5.22.1

$- 4$ に $4$ をかけます。

$\frac{\frac{5 - 16}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.22.2

$5$ から $16$ を引きます。

$\frac{\frac{- 11}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.5.23

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{11}{4}}{- 7 + 4 (- (- 2))}$

ステップ 3.6

分母を簡約します。

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ステップ 3.6.1

$4 (- (- 2))$ を掛けます。

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ステップ 3.6.1.1

$- 1$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{- \frac{11}{4}}{- 7 + 4 \cdot 2}$

ステップ 3.6.1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{- \frac{11}{4}}{- 7 + 8}$

ステップ 3.6.2

$- 7$ と $8$ をたし算します。

$\frac{- \frac{11}{4}}{1}$

ステップ 3.7

$- \frac{11}{4}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{11}{4}$

微分積分学準備 例

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