微分積分学準備例

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$

ステップ 1

$V = \frac{4}{3} π r^{3}$ を関数で書きます。

$f (r) = \frac{4}{3} π r^{3}$

ステップ 2

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (r + h) - f r}{h}$

ステップ 3

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = r + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $r$ を $r + h$ で置換えます。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π {(r + h)}^{3})$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

二項定理を利用します。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π (r^{3} + 3 r^{2} h + 3 r h^{2} + h^{3}))$

ステップ 3.1.2.2

分配則を当てはめます。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π (3 r^{2} h) + π (3 r h^{2}) + π h^{3})$

ステップ 3.1.2.3

括弧を削除します。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + π \cdot (3 r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

ステップ 3.1.2.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.4.1

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 \cdot (π r^{2} h) + π \cdot (3 r h^{2}) + π h^{3})$

ステップ 3.1.2.4.2

$3$ を $π$ の左に移動させます。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3} + 3 π r^{2} h + 3 π r h^{2} + π h^{3})$

ステップ 3.1.2.5

分配則を当てはめます。

$f (r + h) = \frac{4}{3} \cdot (π r^{3}) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

ステップ 3.1.2.6

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1

$\frac{4}{3} (π r^{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.1.1

$π$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$f (r + h) = \frac{π \cdot 4}{3} r^{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

ステップ 3.1.2.6.1.2

$\frac{π \cdot 4}{3}$ と $r^{3}$ をまとめます。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

ステップ 3.1.2.6.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.2.1

$3$ を $3 π r^{2} h$ で因数分解します。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

ステップ 3.1.2.6.2.2

共通因数を約分します。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r^{2} h)) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

ステップ 3.1.2.6.2.3

式を書き換えます。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

ステップ 3.1.2.6.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.3.1

$3$ を $3 π r h^{2}$ で因数分解します。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

ステップ 3.1.2.6.3.2

共通因数を約分します。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + \frac{4}{3} \cdot (3 (π r h^{2})) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

ステップ 3.1.2.6.3.3

式を書き換えます。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{4}{3} \cdot (π h^{3})$

ステップ 3.1.2.6.4

$\frac{4}{3} (π h^{3})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.6.4.1

$π$ と $\frac{4}{3}$ をまとめます。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot 4}{3} h^{3}$

ステップ 3.1.2.6.4.2

$\frac{π \cdot 4}{3}$ と $h^{3}$ をまとめます。

$f (r + h) = \frac{π \cdot (4 r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

ステップ 3.1.2.7

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.7.1

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$f (r + h) = \frac{4 \cdot (π r^{3})}{3} + 4 (π r^{2} h) + 4 (π r h^{2}) + \frac{π \cdot (4 h^{3})}{3}$

ステップ 3.1.2.7.2

$4$ を $π$ の左に移動させます。

$f (r + h) = \frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

ステップ 3.1.2.8

最終的な答えは $\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$ です。

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π r^{2} h + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

ステップ 3.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$r^{2}$ を移動させます。

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π r h^{2} + \frac{4 π h^{3}}{3}$

ステップ 3.2.2

$r$ を移動させます。

$\frac{4 π r^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3}$

ステップ 3.2.3

$\frac{4 π r^{3}}{3}$ を移動させます。

$4 π h r^{2} + 4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

ステップ 3.2.4

$4 π h r^{2}$ を移動させます。

$4 π h^{2} r + \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

ステップ 3.2.5

$4 π h^{2} r$ と $\frac{4 π h^{3}}{3}$ を並べ替えます。

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

ステップ 3.3

決定成分を求めます。

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r + h) = \frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3}$

$f (r) = \frac{4 π r^{3}}{3}$

ステップ 4

成分に代入します。

$\frac{f (r + h) - f r}{h} = \frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + \frac{4 π r^{3}}{3} - (\frac{4 π r^{3}}{3})}{h}$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分子を簡約します。

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ステップ 5.1.1

$\frac{4 π r^{3}}{3}$ から $\frac{4 π r^{3}}{3}$ を引きます。

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2} + 0}{h}$

ステップ 5.1.2

$\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

ステップ 5.1.3

$4 π h$ を $\frac{4 π h^{3}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.3.1

$4 π h$ を $\frac{4 π h^{3}}{3}$ で因数分解します。

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h^{2} r + 4 π h r^{2}}{h}$

ステップ 5.1.3.2

$4 π h$ を $4 π h^{2} r$ で因数分解します。

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

ステップ 5.1.3.3

$4 π h$ を $4 π h r^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

ステップ 5.1.3.4

$4 π h$ を $4 π h \frac{h^{2}}{3} + 4 π h (h r)$ で因数分解します。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}}{h}$

ステップ 5.1.3.5

$4 π h$ を $4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r) + 4 π h r^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r + r^{2})}{h}$

ステップ 5.1.4

$h r$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + h r \cdot \frac{3}{3} + r^{2})}{h}$

ステップ 5.1.5

$h r$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2}}{3} + \frac{h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

ステップ 5.1.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 π h (\frac{h^{2} + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

ステップ 5.1.7

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1

$h$ を $h^{2} + h r \cdot 3$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.7.1.1

$h$ を $h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{4 π h (\frac{h \cdot h + h r \cdot 3}{3} + r^{2})}{h}$

ステップ 5.1.7.1.2

$h$ を $h r \cdot 3$ で因数分解します。

$\frac{4 π h (\frac{h (h) + h (r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

ステップ 5.1.7.1.3

$h$ を $h (h) + h (r \cdot 3)$ で因数分解します。

$\frac{4 π h (\frac{h (h + r \cdot 3)}{3} + r^{2})}{h}$

ステップ 5.1.7.2

$3$ を $r$ の左に移動させます。

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2})}{h}$

ステップ 5.1.8

$r^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + r^{2} \cdot \frac{3}{3})}{h}$

ステップ 5.1.9

$r^{2}$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{4 π h (\frac{h (h + 3 r)}{3} + \frac{r^{2} \cdot 3}{3})}{h}$

ステップ 5.1.10

公分母の分子をまとめます。

$\frac{4 π h \frac{h (h + 3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

ステップ 5.1.11

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{4 π h \frac{h (h) + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

ステップ 5.1.11.2

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + h (3 r) + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

ステップ 5.1.11.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + r^{2} \cdot 3}{3}}{h}$

ステップ 5.1.11.4

$3$ を $r^{2}$ の左に移動させます。

$\frac{4 π h \frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}}{h}$

ステップ 5.1.12

指数をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.12.1

$4$ と $\frac{h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}}{3}$ をまとめます。

$\frac{π h \frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

ステップ 5.1.12.2

$π$ と $\frac{4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$ をまとめます。

$\frac{h \frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}}{h}$

ステップ 5.1.12.3

$h$ と $\frac{π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}))}{3}$ をまとめます。

$\frac{\frac{h (π (4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})))}{3}}{h}$

ステップ 5.1.13

不要な括弧を削除します。

$\frac{\frac{h π \cdot 4 (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

ステップ 5.1.14

$4$ を $h π$ の左に移動させます。

$\frac{\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}}{h}$

ステップ 5.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 5.3

まとめる。

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

ステップ 5.4

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 h π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3 h}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2}) \cdot 1}{3}$

ステップ 5.5

$4$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 π (h^{2} + 3 h r + 3 r^{2})}{3}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例