微分積分学準備例

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{3 π}{4}, \frac{5 π}{4}]$

ステップ 1

$f (x) = \cot (x)$ を方程式で書きます。

$y = \cot (x)$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (\frac{5 π}{4}) - f (\frac{3 π}{4})}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 2.2

式 $y = \cot (x)$ を $f (\frac{5 π}{4})$ と $f (\frac{3 π}{4})$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(\cot (\frac{5 π}{4})) - (\cot (\frac{3 π}{4}))}{(\frac{5 π}{4}) - (\frac{3 π}{4})}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分数の分子と分母に $4$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$ に $\frac{4}{4}$ をかけます。

$\frac{4}{4} \cdot \frac{\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4})}{\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4}}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 (\frac{5 π}{4} - \frac{3 π}{4})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

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ステップ 3.3.1

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{4 \frac{5 π}{4} + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 (- \frac{3 π}{4})}$

ステップ 3.3.2

$4$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$- \frac{3 π}{4}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

ステップ 3.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π + 4 \frac{- 3 π}{4}}$

ステップ 3.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$4$ を $4 \cot (\frac{5 π}{4}) + 4 (- \cot (\frac{3 π}{4}))$ で因数分解します。

$\frac{4 (\cot (\frac{5 π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

ステップ 3.4.2

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。

$\frac{4 (\cot (\frac{π}{4}) - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

ステップ 3.4.3

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{4 (1 - \cot (\frac{3 π}{4}))}{5 π - 3 π}$

ステップ 3.4.4

第一象限で等しい三角の値を持つ角度を求め、参照角を当てはめます。余接は第二象限で負であるため、式を負にします。

$\frac{4 (1 - - \cot (\frac{π}{4}))}{5 π - 3 π}$

ステップ 3.4.5

$\cot (\frac{π}{4})$ の厳密値は $1$ です。

$\frac{4 (1 - (- 1 \cdot 1))}{5 π - 3 π}$

ステップ 3.4.6

$- (- 1 \cdot 1)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.6.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 (1 - - 1)}{5 π - 3 π}$

ステップ 3.4.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 (1 + 1)}{5 π - 3 π}$

ステップ 3.4.7

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{4 \cdot 2}{5 π - 3 π}$

ステップ 3.5

項を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$5 π$ から $3 π$ を引きます。

$\frac{4 \cdot 2}{2 π}$

ステップ 3.5.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{8}{2 π}$

ステップ 3.5.3

$8$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.1

$2$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

ステップ 3.5.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.3.2.1

$2$ を $2 π$ で因数分解します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 (π)}$

ステップ 3.5.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \cdot 4}{2 π}$

ステップ 3.5.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{4}{π}$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例