微分積分学準備例

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 (x + h)}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$ です。

$18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

$f (x + h) = 18 + 3 e^{- 3 x - 3 h}$

$f (x) = 18 + 3 e^{- 3 x}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - (18 + 3 e^{- 3 x})}{h}$

ステップ 4

分子を簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 1 \cdot 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

ステップ 4.2

$- 1$ に $18$ をかけます。

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - (3 e^{- 3 x})}{h}$

ステップ 4.3

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{18 + 3 e^{- 3 x - 3 h} - 18 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

ステップ 4.4

$18$ から $18$ を引きます。

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 0 - 3 e^{- 3 x}}{h}$

ステップ 4.5

$3 e^{- 3 x - 3 h}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

ステップ 4.6

因数分解した形で $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ を書き換えます。

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ステップ 4.6.1

$3$ を $3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

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ステップ 4.6.1.1

$3$ を $3 e^{- 3 x - 3 h}$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} - 3 e^{- 3 x}}{h}$

ステップ 4.6.1.2

$3$ を $- 3 e^{- 3 x}$ で因数分解します。

$\frac{3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})}{h}$

ステップ 4.6.1.3

$3$ を $3 e^{- 3 x - 3 h} + 3 (- e^{- 3 x})$ で因数分解します。

$\frac{3 (e^{- 3 x - 3 h} - e^{- 3 x})}{h}$

ステップ 4.6.2

$e^{- 3 x - 3 h}$ を ${(e^{- x - h})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - e^{- 3 x})}{h}$

ステップ 4.6.3

$e^{- 3 x}$ を ${(e^{- x})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{3 ({(e^{- x - h})}^{3} - {(e^{- x})}^{3})}{h}$

ステップ 4.6.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = e^{- x - h}$ であり、 $b = e^{- x}$ です。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) ({(e^{- x - h})}^{2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.6.5

簡約します。

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ステップ 4.6.5.1

${(e^{- x - h})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.6.5.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{(- x - h) \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.6.5.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- x \cdot 2 - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.6.5.1.3

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - h \cdot 2} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.6.5.1.4

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h} e^{- x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.6.5.2

指数を足して $e^{- x - h}$ に $e^{- x}$ を掛けます。

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ステップ 4.6.5.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- x - h - x} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.6.5.2.2

$- x$ から $x$ を引きます。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + {(e^{- x})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.6.5.3

${(e^{- x})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 4.6.5.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- x \cdot 2}))}{h}$

ステップ 4.6.5.3.2

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{3 ((e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x}))}{h}$

$\frac{3 (e^{- x - h} - e^{- x}) (e^{- 2 x - 2 h} + e^{- 2 x - h} + e^{- 2 x})}{h}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例