微分積分学準備例

$f (x) = \frac{- x^{2}}{x^{3} - x^{2}}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

${(x + h)}^{2}$ を ${(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.2.1.1

${(x + h)}^{2}$ を ${(x + h)}^{3}$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) - {(x + h)}^{2}}$

ステップ 2.1.2.1.2

${(x + h)}^{2}$ を $- {(x + h)}^{2}$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1}$

ステップ 2.1.2.1.3

${(x + h)}^{2}$ を ${(x + h)}^{2} (x + h) + {(x + h)}^{2} \cdot - 1$ で因数分解します。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

ステップ 2.1.2.2

${(x + h)}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.1.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (x + h) = \frac{- {(x + h)}^{2}}{{(x + h)}^{2} (x + h - 1)}$

ステップ 2.1.2.2.2

式を書き換えます。

$f (x + h) = \frac{- 1}{x + h - 1}$

ステップ 2.1.2.3

分数の前に負数を移動させます。

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

ステップ 2.1.2.4

最終的な答えは $- \frac{1}{x + h - 1}$ です。

$- \frac{1}{x + h - 1}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

$f (x + h) = - \frac{1}{x + h - 1}$

$f (x) = - \frac{1}{x - 1}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{1}{x + h - 1} - (- \frac{1}{x - 1})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$- - \frac{1}{x - 1}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + 1 \frac{1}{x - 1}}{h}$

ステップ 4.1.1.2

$\frac{1}{x - 1}$ に $1$ をかけます。

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1}{x + h - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x - 1}{x - 1}$ を掛けます。

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1}}{h}$

ステップ 4.1.3

$\frac{1}{x - 1}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ を掛けます。

$\frac{- \frac{1}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

ステップ 4.1.4

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $(x + h - 1) (x - 1)$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.4.1

$\frac{1}{x + h - 1}$ に $\frac{x - 1}{x - 1}$ をかけます。

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

ステップ 4.1.4.2

$\frac{1}{x - 1}$ に $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ をかけます。

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.4.3

$(x - 1) (x + h - 1)$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- \frac{x - 1}{(x + h - 1) (x - 1)} + \frac{x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.6

因数分解した形で $\frac{- (x - 1) + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}$ を書き換えます。

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ステップ 4.1.6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{- x - - 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.6.2

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{- x + 1 + x + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.6.3

$- x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{0 + 1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.6.4

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{1 + h - 1}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.6.5

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{h + 0}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.1.6.6

$h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{(x + h - 1) (x - 1)}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例