微分積分学準備例

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ , $1 \leq x \leq 7$

ステップ 1

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (7) - f (1)}{(7) - (1)}$

ステップ 2.2

式 $y = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x}$ を $f (7)$ と $f (1)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - 1}}{7}) - (\frac{\sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{1})}{(7) - (1)}$

ステップ 3

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$\sqrt{{(1)}^{2} - 1}$ を $1$ で割ります。

$\frac{\frac{\sqrt{{(7)}^{2} - 1}}{7} - \sqrt{{(1)}^{2} - 1}}{(7) - (1)}$

ステップ 3.2

分数の分子と分母に $7$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$\frac{\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1}}{7 - (1)}$ に $\frac{7}{7}$ をかけます。

$\frac{7}{7} \cdot \frac{\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1}}{7 - (1)}$

ステップ 3.2.2

まとめる。

$\frac{7 (\frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} - \sqrt{1^{2} - 1})}{7 (7 - (1))}$

ステップ 3.3

分配則を当てはめます。

$\frac{7 \frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.4

$7$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{7 \frac{\sqrt{7^{2} - 1}}{7} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.4.2

式を書き換えます。

$\frac{\sqrt{7^{2} - 1} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.1

$7$ を $2$ 乗します。

$\frac{\sqrt{49 - 1} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.2

$49$ から $1$ を引きます。

$\frac{\sqrt{48} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.3

$48$ を $4^{2} \cdot 3$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.3.1

$16$ を $48$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{16 (3)} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.3.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 3} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{1^{2} - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.5

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{1 - 1})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.6

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{0})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.7

$0$ を $0^{2}$ に書き換えます。

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- \sqrt{0^{2}})}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 (- 0)}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.9

$7 (- 0)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.5.9.1

$- 1$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{3} + 7 \cdot 0}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.9.2

$7$ に $0$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{3} + 0}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.5.10

$4 \sqrt{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{4 \sqrt{3}}{7 \cdot 7 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.6

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.1

$7$ に $7$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 + 7 (- (1))}$

ステップ 3.6.2

$7 (- (1))$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.6.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 + 7 \cdot - 1}$

ステップ 3.6.2.2

$7$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{4 \sqrt{3}}{49 - 7}$

ステップ 3.6.3

$49$ から $7$ を引きます。

$\frac{4 \sqrt{3}}{42}$

ステップ 3.7

$4$ と $42$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.1

$2$ を $4 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{42}$

ステップ 3.7.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.7.2.1

$2$ を $42$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 (21)}$

ステップ 3.7.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 \sqrt{3})}{2 \cdot 21}$

ステップ 3.7.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{3}}{21}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$\frac{2 \sqrt{3}}{21}$

10進法形式：

$0.16495721 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例