微分積分学準備例

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ ;, $[- 3, - \frac{5}{2}]$

ステップ 1

$f (x) = x^{2} + 2 x - 1$ を方程式で書きます。

$y = x^{2} + 2 x - 1$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (- \frac{5}{2}) - f (- 3)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

ステップ 2.2

式 $y = x^{2} + 2 x - 1$ を $f (- \frac{5}{2})$ と $f (- 3)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1) - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{(- \frac{5}{2}) - (- 3)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分数の分子と分母に $2$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$ に $\frac{2}{2}$ をかけます。

$\frac{2}{2} \cdot \frac{{(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1)}{- \frac{5}{2} - (- 3)}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{2 ({(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (- \frac{5}{2}) - 1 - ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2} - (- 3))}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (- \frac{5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.3

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1

$- \frac{5}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{2 (\frac{- 5}{2}) + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.3.3

式を書き換えます。

$\frac{2 {(- \frac{5}{2})}^{2} + 2 (2 (- \frac{5}{2})) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

べき乗則 ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ を利用して指数を分配します。

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ステップ 3.4.1.1

積の法則を $- \frac{5}{2}$ に当てはめます。

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{5}{2})}^{2}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.1.2

積の法則を $\frac{5}{2}$ に当てはめます。

$\frac{2 ({(- 1)}^{2} \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$\frac{2 (1 \frac{5^{2}}{2^{2}}) + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.3

$\frac{5^{2}}{2^{2}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2^{2}} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.4.1

$2$ を $2^{2}$ で因数分解します。

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 \frac{5^{2}}{2 \cdot 2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.4.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{5^{2}}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.5

$5$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.6

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (- \frac{5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.7

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.7.1

$- \frac{5}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\frac{25}{2} + 4 (\frac{- 5}{2}) + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.7.2

$2$ を $4$ で因数分解します。

$\frac{\frac{25}{2} + 2 (2) \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.7.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot 2 \frac{- 5}{2} + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.7.4

式を書き換えます。

$\frac{\frac{25}{2} + 2 \cdot - 5 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.8

$2$ に $- 5$ をかけます。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 + 2 \cdot - 1 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- ({(- 3)}^{2} + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.10

各項を簡約します。

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ステップ 3.4.10.1

$- 3$ を $2$ 乗します。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 + 2 (- 3) - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.10.2

$2$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (9 - 6 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.11

$9$ から $6$ を引きます。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- (3 - 1))}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.12

$3$ から $1$ を引きます。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 (- 1 \cdot 2)}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.13

$2 (- 1 \cdot 2)$ を掛けます。

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ステップ 3.4.13.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 + 2 \cdot - 2}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.13.2

$2$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.14

$- 10$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{25}{2} - 10 \cdot \frac{2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.15

$- 10$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{25}{2} + \frac{- 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.16

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{25 - 10 \cdot 2}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.17

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.17.1

$- 10$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{25 - 20}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.17.2

$25$ から $20$ を引きます。

$\frac{\frac{5}{2} - 2 - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.18

$- 2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{5}{2} - 2 \cdot \frac{2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.19

$- 2$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{5}{2} + \frac{- 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.20

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{5 - 2 \cdot 2}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.21

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.21.1

$- 2$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{5 - 4}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.21.2

$5$ から $4$ を引きます。

$\frac{\frac{1}{2} - 4}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.22

$- 4$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{2} - 4 \cdot \frac{2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.23

$- 4$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{\frac{1}{2} + \frac{- 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.24

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{1 - 4 \cdot 2}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.25

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.25.1

$- 4$ に $2$ をかけます。

$\frac{\frac{1 - 8}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.25.2

$1$ から $8$ を引きます。

$\frac{\frac{- 7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.4.26

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 (- (- 3))}$

ステップ 3.5

分母を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$2 (- (- 3))$ を掛けます。

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ステップ 3.5.1.1

$- 1$ に $- 3$ をかけます。

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 2 \cdot 3}$

ステップ 3.5.1.2

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{- \frac{7}{2}}{- 5 + 6}$

ステップ 3.5.2

$- 5$ と $6$ をたし算します。

$\frac{- \frac{7}{2}}{1}$

ステップ 3.6

$- \frac{7}{2}$ を $1$ で割ります。

$- \frac{7}{2}$

微分積分学準備 例

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