微分積分学準備例

$f (x) = {(\frac{1}{2})}^{x}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(\frac{1}{2})}^{x + h}$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

積の法則を $\frac{1}{2}$ に当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1^{x + h}}{2^{x + h}}$

ステップ 2.1.2.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f (x + h) = \frac{1}{2^{x + h}}$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $\frac{1}{2^{x + h}}$ です。

$\frac{1}{2^{x + h}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{1}{2^{x + h}}$

$f (x) = \frac{1}{2^{x}}$

$f (x + h) = \frac{1}{2^{x + h}}$

$f (x) = \frac{1}{2^{x}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{1}{2^{x + h}} - (\frac{1}{2^{x}})}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

$\frac{1}{2^{x + h}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2^{x}}{2^{x}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{2^{x + h}} \cdot \frac{2^{x}}{2^{x}} - \frac{1}{2^{x}}}{h}$

ステップ 4.1.2

$- \frac{1}{2^{x}}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}$ を掛けます。

$\frac{\frac{1}{2^{x + h}} \cdot \frac{2^{x}}{2^{x}} - \frac{1}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.1.3

$1$ の適した因数を掛けて、各式を $2^{x + h} \cdot 2^{x}$ を公分母とする式で書きます。

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ステップ 4.1.3.1

$\frac{1}{2^{x + h}}$ に $\frac{2^{x}}{2^{x}}$ をかけます。

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{x + h} \cdot 2^{x}} - \frac{1}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.1.3.2

指数を足して $2^{x + h}$ に $2^{x}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.3.2.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{x + h + x}} - \frac{1}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.1.3.2.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{1}{2^{x}} \cdot \frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.1.3.3

$\frac{1}{2^{x}}$ に $\frac{2^{h + x}}{2^{h + x}}$ をかけます。

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{2^{h + x}}{2^{x} \cdot 2^{h + x}}}{h}$

ステップ 4.1.3.4

指数を足して $2^{x}$ に $2^{h + x}$ を掛けます。

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ステップ 4.1.3.4.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{2^{h + x}}{2^{x + h + x}}}{h}$

ステップ 4.1.3.4.2

$x$ と $x$ をたし算します。

$\frac{\frac{2^{x}}{2^{2 x + h}} - \frac{2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

ステップ 4.1.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}}{h}$

ステップ 4.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h}} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.3

$\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h}}$ に $\frac{1}{h}$ をかけます。

$\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h} h}$

ステップ 4.4

$\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{2^{2 x + h} h}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{2^{x} - 2^{h + x}}{h \cdot 2^{2 x + h}}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例