微分積分学準備例

$f (x) = \cot (x)$ , $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$

ステップ 1

$f (x) = \cot (x)$ を方程式で書きます。

$y = \cot (x)$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (\frac{π}{2}) - f (\frac{π}{3})}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{3})}$

ステップ 2.2

式 $y = \cot (x)$ を $f (\frac{π}{2})$ と $f (\frac{π}{3})$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(\cot (\frac{π}{2})) - (\cot (\frac{π}{3}))}{(\frac{π}{2}) - (\frac{π}{3})}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分数の分子と分母に $6$ を掛けます。

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ステップ 3.1.1

$\frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{3}}$ に $\frac{6}{6}$ をかけます。

$\frac{6}{6} \cdot \frac{\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3})}{\frac{π}{2} - \frac{π}{3}}$

ステップ 3.1.2

まとめる。

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3}))}{6 (\frac{π}{2} - \frac{π}{3})}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{6 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

ステップ 3.3

約分で簡約します。

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ステップ 3.3.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.1.1

$2$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{2 (3) \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

ステップ 3.3.1.2

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{2 \cdot 3 \frac{π}{2} + 6 (- \frac{π}{3})}$

ステップ 3.3.1.3

式を書き換えます。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 6 (- \frac{π}{3})}$

ステップ 3.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.2.1

$- \frac{π}{3}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 6 \frac{- π}{3}}$

ステップ 3.3.2.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 3 (2) \frac{- π}{3}}$

ステップ 3.3.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 3 \cdot 2 \frac{- π}{3}}$

ステップ 3.3.2.4

式を書き換えます。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π + 2 (- π)}$

ステップ 3.3.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.1

$6$ を $6 \cot (\frac{π}{2}) + 6 (- \cot (\frac{π}{3}))$ で因数分解します。

$\frac{6 (\cot (\frac{π}{2}) - \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.2

$\cot (\frac{π}{2})$ の厳密値は $0$ です。

$\frac{6 (0 - \cot (\frac{π}{3}))}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.3

$\cot (\frac{π}{3})$ の厳密値は $\frac{1}{\sqrt{3}}$ です。

$\frac{6 (0 - \frac{1}{\sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.4

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{6 (0 - (\frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}))}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5

分母を組み合わせて簡約します。

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ステップ 3.4.5.1

$\frac{1}{\sqrt{3}}$ に $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ をかけます。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.2

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.3

$\sqrt{3}$ を $1$ 乗します。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.4

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.5

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.6

${\sqrt{3}}^{2}$ を $3$ に書き換えます。

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ステップ 3.4.5.6.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3}$ を $3^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.6.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.6.3

$\frac{1}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.6.4

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.5.6.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.6.4.2

式を書き換えます。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3^{1}})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.5.6.5

指数を求めます。

$\frac{6 (0 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.6

$0$ から $\frac{\sqrt{3}}{3}$ を引きます。

$\frac{6 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.7

指数をまとめます。

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ステップ 3.4.7.1

負をくくり出します。

$\frac{- (6 \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.7.2

$6$ と $\frac{\sqrt{3}}{3}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{6 \sqrt{3}}{3}}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.8

$6$ と $3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.8.1

$3$ を $6 \sqrt{3}$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3}}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.8.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.4.8.2.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 (1)}}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.8.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{- \frac{3 (2 \sqrt{3})}{3 \cdot 1}}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.8.2.3

式を書き換えます。

$\frac{- \frac{2 \sqrt{3}}{1}}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.8.2.4

$2 \sqrt{3}$ を $1$ で割ります。

$\frac{- (2 \sqrt{3})}{3 π - 2 π}$

$\frac{- 1 \cdot 2 \sqrt{3}}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.4.9

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{3 π - 2 π}$

ステップ 3.5

項を加えて簡約します。

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ステップ 3.5.1

$3 π$ から $2 π$ を引きます。

$\frac{- 2 \sqrt{3}}{π}$

ステップ 3.5.2

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{2 \sqrt{3}}{π}$

ステップ 4

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$- \frac{2 \sqrt{3}}{π}$

10進法形式：

$- 1.10265779 \dots$

微分積分学準備 例

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