微分積分学準備例

$y = \sqrt{x^{3} + 1}$ at $(2, 3)$

ステップ 1

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 1.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (3) - f (2)}{(3) - (2)}$

ステップ 1.2

式 $y = \sqrt{x^{3} + 1}$ を $f (3)$ と $f (2)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(\sqrt{{(3)}^{3} + 1}) - (\sqrt{{(2)}^{3} + 1})}{(3) - (2)}$

ステップ 2

式を簡約します。

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ステップ 2.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.1.1

$3$ を $3$ 乗します。

$\frac{\sqrt{27 + 1} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

ステップ 2.1.2

$27$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sqrt{28} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

ステップ 2.1.3

$28$ を $2^{2} \cdot 7$ に書き換えます。

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ステップ 2.1.3.1

$4$ を $28$ で因数分解します。

$\frac{\sqrt{4 (7)} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

ステップ 2.1.3.2

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{\sqrt{2^{2} \cdot 7} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

ステップ 2.1.4

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{7} - \sqrt{2^{3} + 1}}{3 - (2)}$

ステップ 2.1.5

$2$ を $3$ 乗します。

$\frac{2 \sqrt{7} - \sqrt{8 + 1}}{3 - (2)}$

ステップ 2.1.6

$8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{2 \sqrt{7} - \sqrt{9}}{3 - (2)}$

ステップ 2.1.7

$9$ を $3^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 \sqrt{7} - \sqrt{3^{2}}}{3 - (2)}$

ステップ 2.1.8

正の実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{2 \sqrt{7} - 1 \cdot 3}{3 - (2)}$

ステップ 2.1.9

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{7} - 3}{3 - (2)}$

ステップ 2.2

分母を簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{2 \sqrt{7} - 3}{3 - 2}$

ステップ 2.2.2

$3$ から $2$ を引きます。

$\frac{2 \sqrt{7} - 3}{1}$

ステップ 2.3

$2 \sqrt{7} - 3$ を $1$ で割ります。

$2 \sqrt{7} - 3$

ステップ 3

結果は複数の形で表すことができます。

完全形：

$2 \sqrt{7} - 3$

10進法形式：

$2.29150262 \dots$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例