微分積分学準備例

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

ステップ 2.1.2

最終的な答えは $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ です。

$65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

$r (x + h) = 65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$

$r (x) = 65 x^{\frac{9}{10}}$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{r (x + h) - r x}{h} = \frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - (65 x^{\frac{9}{10}})}{h}$

ステップ 4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

$- 1$ に $65$ をかけます。

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}}{h}$

ステップ 4.2

因数分解した形で $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}$ を書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$65$ を $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

$65$ を $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ で因数分解します。

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} - 65 x^{\frac{9}{10}}}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$65$ を $- 65 x^{\frac{9}{10}}$ で因数分解します。

$\frac{65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} + 65 (- x^{\frac{9}{10}})}{h}$

ステップ 4.2.1.3

$65$ を $65 {(x + h)}^{\frac{9}{10}} + 65 (- x^{\frac{9}{10}})$ で因数分解します。

$\frac{65 ({(x + h)}^{\frac{9}{10}} - x^{\frac{9}{10}})}{h}$

ステップ 4.2.2

${(x + h)}^{\frac{9}{10}}$ を ${({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{65 ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3} - x^{\frac{9}{10}})}{h}$

ステップ 4.2.3

$x^{\frac{9}{10}}$ を ${(x^{\frac{3}{10}})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{65 ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{3} - {(x^{\frac{3}{10}})}^{3})}{h}$

ステップ 4.2.4

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = {(x + h)}^{\frac{3}{10}}$ であり、 $b = x^{\frac{3}{10}}$ です。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{3}{10}} - x^{\frac{3}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.1

${(x + h)}^{\frac{3}{10}}$ を ${({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{65 (({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3} - x^{\frac{3}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.2

$x^{\frac{3}{10}}$ を ${(x^{\frac{1}{10}})}^{3}$ に書き換えます。

$\frac{65 (({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{3} - {(x^{\frac{1}{10}})}^{3}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.3

両項とも完全立方なので、立方の差の公式 $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = {(x + h)}^{\frac{1}{10}}$ であり、 $b = x^{\frac{1}{10}}$ です。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.4.1

${({(x + h)}^{\frac{1}{10}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{10} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.4.1.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4.1.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4.1.2.3

式を書き換えます。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + {(x^{\frac{1}{10}})}^{2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4.2

${(x^{\frac{1}{10}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.4.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{10} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4.2.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.4.2.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{2 (5)} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{2 \cdot 5} \cdot 2}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.5

${({(x + h)}^{\frac{3}{10}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{10} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.5.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{2 (5)} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.5.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{2 \cdot 5} \cdot 2} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.5.2.3

式を書き換えます。

$\frac{65 (({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{5}} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + {(x^{\frac{3}{10}})}^{2}))}{h}$

ステップ 4.2.5.6

${(x^{\frac{3}{10}})}^{2}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.6.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

ステップ 4.2.5.6.2

$2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.5.6.2.1

$2$ を $10$ で因数分解します。

ステップ 4.2.5.6.2.2

共通因数を約分します。

ステップ 4.2.5.6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{65 ({(x + h)}^{\frac{1}{10}} - x^{\frac{1}{10}}) ({(x + h)}^{\frac{1}{5}} + {(x + h)}^{\frac{1}{10}} x^{\frac{1}{10}} + x^{\frac{1}{5}}) ({(x + h)}^{\frac{3}{5}} + {(x + h)}^{\frac{3}{10}} x^{\frac{3}{10}} + x^{\frac{3}{5}})}{h}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例