微分積分学準備例

$\frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$

ステップ 1

$\frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$ を関数で書きます。

$f (x) = \frac{1}{8} x^{3} - x^{2}$

ステップ 2

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 3

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot {(x + h)}^{3} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = \frac{1}{8} \cdot (x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3}) - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{1}{8} x^{3} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.3.1

$\frac{1}{8}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3.2

$\frac{1}{8} (3 x^{2} h)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.3.2.1

$3$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x^{2} h) + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3.2.2

$x^{2}$ と $\frac{3}{8}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot 3}{8} \cdot h + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3.2.3

$\frac{x^{2} \cdot 3}{8}$ と $h$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{1}{8} \cdot (3 x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3.3

$\frac{1}{8} (3 x h^{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.3.3.1

$3$ と $\frac{1}{8}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{3}{8} \cdot (x h^{2}) + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3.3.2

$x$ と $\frac{3}{8}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot 3}{8} \cdot h^{2} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3.3.3

$\frac{x \cdot 3}{8}$ と $h^{2}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{1}{8} h^{3} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.3.4

$\frac{1}{8}$ と $h^{3}$ をまとめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{x^{2} \cdot (3 h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.4

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.4.1

$3$ を $x^{2}$ の左に移動させます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 \cdot (x^{2} h)}{8} + \frac{x \cdot (3 h^{2})}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.4.2

$3$ を $x$ の左に移動させます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - {(x + h)}^{2}$

ステップ 3.1.2.1.5

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - ((x + h) (x + h))$

ステップ 3.1.2.1.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.6.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x (x + h) + h (x + h))$

ステップ 3.1.2.1.6.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h (x + h))$

ステップ 3.1.2.1.6.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h)$

ステップ 3.1.2.1.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h \cdot h)$

ステップ 3.1.2.1.7.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + x h + h x + h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.7.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1.2.1.7.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + h x + h x + h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.7.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - (x^{2} + 2 h x + h^{2})$

ステップ 3.1.2.1.8

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - (2 h x) - h^{2}$

ステップ 3.1.2.1.9

$2$ に $- 1$ をかけます。

$f (x + h) = \frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

ステップ 3.1.2.2

最終的な答えは $\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$ です。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 x^{2} h}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

ステップ 3.2

並べ替えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 x h^{2}}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

ステップ 3.2.2

$x$ を移動させます。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - x^{2} - 2 h x - h^{2}$

ステップ 3.2.3

$- x^{2}$ を移動させます。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - 2 h x - h^{2} - x^{2}$

ステップ 3.2.4

$- 2 h x$ を移動させます。

$\frac{x^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

ステップ 3.2.5

$\frac{x^{3}}{8}$ を移動させます。

$\frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

ステップ 3.2.6

$\frac{3 h x^{2}}{8}$ を移動させます。

$\frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

ステップ 3.2.7

$\frac{3 h^{2} x}{8}$ と $\frac{h^{3}}{8}$ を並べ替えます。

$\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

ステップ 3.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

$f (x + h) = \frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2}$

$f (x) = \frac{x^{3}}{8} - x^{2}$

ステップ 4

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - (\frac{x^{3}}{8} - x^{2})}{h}$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} - - x^{2}}{h}$

ステップ 5.1.2

$- - x^{2}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.2.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + 1 x^{2}}{h}$

ステップ 5.1.2.2

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} + \frac{x^{3}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} - \frac{x^{3}}{8} + x^{2}}{h}$

ステップ 5.1.3

$\frac{x^{3}}{8}$ から $\frac{x^{3}}{8}$ を引きます。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + 0 + x^{2}}{h}$

ステップ 5.1.4

$\frac{h^{3}}{8}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x - x^{2} + x^{2}}{h}$

ステップ 5.1.5

$- x^{2}$ と $x^{2}$ をたし算します。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x + 0}{h}$

ステップ 5.1.6

$\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{\frac{h^{3}}{8} + \frac{3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.7

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{h^{3} + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.8

$h^{2}$ を $h^{3} + 3 h^{2} x$ で因数分解します。

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ステップ 5.1.8.1

$h^{2}$ を $h^{3}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h^{2} h + 3 h^{2} x}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.8.2

$h^{2}$ を $3 h^{2} x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h^{2} h + h^{2} (3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.8.3

$h^{2}$ を $h^{2} h + h^{2} (3 x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x)}{8} + \frac{3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.10

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.10.1

$h$ を $h^{2} (h + 3 x) + 3 h x^{2}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.10.1.1

$h$ を $h^{2} (h + 3 x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + 3 h x^{2}}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.10.1.2

$h$ を $3 h x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.10.1.3

$h$ を $h (h (h + 3 x)) + h (3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h (h + 3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.10.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{h (h (h) + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.10.3

$h$ に $h$ をかけます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + h (3 x) + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.10.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.11

$- h^{2}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} - h^{2} \cdot \frac{8}{8} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.12

$- h^{2}$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2})}{8} + \frac{- h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.13

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8}{8} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.14

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.14.1

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) - h^{2} \cdot 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.14.1.1

$h$ を $- h^{2} \cdot 8$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.14.1.2

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- h \cdot 8)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - h \cdot 8)}{8} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.14.2

$8$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x}{h}$

ステップ 5.1.15

$- 2 h x$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{8}{8}$ を掛けます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} - 2 h x \cdot \frac{8}{8}}{h}$

ステップ 5.1.16

$- 2 h x$ と $\frac{8}{8}$ をまとめます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h)}{8} + \frac{- 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

ステップ 5.1.17

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8}{8}}{h}$

ステップ 5.1.18

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.18.1

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) - 2 h x \cdot 8$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1.18.1.1

$h$ を $- 2 h x \cdot 8$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

ステップ 5.1.18.1.2

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h) + h (- 2 x \cdot 8)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 2 x \cdot 8)}{8}}{h}$

ステップ 5.1.18.2

$8$ に $- 2$ をかけます。

$\frac{\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8}}{h}$

ステップ 5.2

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x)}{8} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 5.3

まとめる。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

ステップ 5.4

$h$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8 h}$

ステップ 5.4.2

式を書き換えます。

$\frac{(h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x) \cdot 1}{8}$

ステップ 5.5

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x$ に $1$ をかけます。

$\frac{h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 8 h - 16 x}{8}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

微分積分学準備例