微分積分学準備例

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

括弧を削除します。

$f (x + h) = {(x + h)}^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.1

二項定理を利用します。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 {(x + h)}^{2} + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.2

${(x + h)}^{2}$ を $(x + h) (x + h)$ に書き換えます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 ((x + h) (x + h)) + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.3

分配法則（FOIL法）を使って $(x + h) (x + h)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.3.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x (x + h) + h (x + h)) + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.3.2

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h (x + h)) + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.3.3

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.4

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.4.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.4.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.4.1.2

$h$ に $h$ をかけます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.4.2

$x h$ と $h x$ をたし算します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.2.4.2.1

$x$ と $h$ を並べ替えます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.4.2.2

$h x$ と $h x$ をたし算します。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.5

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 2 (2 h x) - 2 h^{2} + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.2.6

$2$ に $- 2$ をかけます。

$f (x + h) = x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

ステップ 2.1.2.3

最終的な答えは $x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$ です。

$x^{3} + 3 x^{2} h + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

ステップ 2.2

並べ替えます。

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ステップ 2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 x h^{2} + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

ステップ 2.2.2

$x$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + x + h + 1$

ステップ 2.2.3

$x$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 x^{2} - 4 h x - 2 h^{2} + h + x + 1$

ステップ 2.2.4

$- 2 x^{2}$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 4 h x - 2 h^{2} - 2 x^{2} + h + x + 1$

ステップ 2.2.5

$- 4 h x$ を移動させます。

$x^{3} + 3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

ステップ 2.2.6

$x^{3}$ を移動させます。

$3 h x^{2} + 3 h^{2} x + h^{3} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

ステップ 2.2.7

$3 h x^{2}$ を移動させます。

$3 h^{2} x + h^{3} + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

ステップ 2.2.8

$3 h^{2} x$ と $h^{3}$ を並べ替えます。

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

ステップ 2.3

決定成分を求めます。

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

$f (x + h) = h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1$

$f (x) = x^{3} - 2 x^{2} + x + 1$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - (x^{3} - 2 x^{2} + x + 1)}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} - (- 2 x^{2}) - x - 1 \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} + 2 x^{2} - x - 1 \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} + x^{3} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 - x^{3} + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

ステップ 4.1.3

$x^{3}$ から $x^{3}$ を引きます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 + 0 + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

ステップ 4.1.4

$h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x - 2 x^{2} + h + x + 1 + 2 x^{2} - x - 1}{h}$

ステップ 4.1.5

$- 2 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + x + 1 + 0 - x - 1}{h}$

ステップ 4.1.6

$h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + x + 1 - x - 1}{h}$

ステップ 4.1.7

$x$ から $x$ を引きます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 0 + 1 - 1}{h}$

ステップ 4.1.8

$h^{3}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 1 - 1}{h}$

ステップ 4.1.9

$1$ から $1$ を引きます。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h + 0}{h}$

ステップ 4.1.10

$h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h$ と $0$ をたし算します。

$\frac{h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

ステップ 4.1.11

$h$ を $h^{3} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.11.1

$h$ を $h^{3}$ で因数分解します。

$\frac{h \cdot h^{2} + 3 h^{2} x + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

ステップ 4.1.11.2

$h$ を $3 h^{2} x$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + 3 h x^{2} - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

ステップ 4.1.11.3

$h$ を $3 h x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) - 2 h^{2} - 4 h x + h}{h}$

ステップ 4.1.11.4

$h$ を $- 2 h^{2}$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) - 4 h x + h}{h}$

ステップ 4.1.11.5

$h$ を $- 4 h x$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h}{h}$

ステップ 4.1.11.6

$h$ を $1$ 乗します。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h^{1}}{h}$

ステップ 4.1.11.7

$h$ を $h^{1}$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2}) + h (3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.11.8

$h$ を $h (h^{2}) + h (3 h x)$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.11.9

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x) + h (3 x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.11.10

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2}) + h (- 2 h)$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h) + h (- 4 x) + h \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.11.11

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h) + h (- 4 x)$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x) + h \cdot 1}{h}$

ステップ 4.1.11.12

$h$ を $h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x) + h \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1)}{h}$

ステップ 4.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$h$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{h (h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1)}{h}$

ステップ 4.2.1.2

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$ を $1$ で割ります。

$h^{2} + 3 h x + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$

ステップ 4.2.2

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$h$ を移動させます。

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 2 h - 4 x + 1$

ステップ 4.2.2.2

$- 2 h$ を移動させます。

$h^{2} + 3 x h + 3 x^{2} - 4 x - 2 h + 1$

ステップ 4.2.2.3

$h^{2}$ を移動させます。

$3 x h + 3 x^{2} + h^{2} - 4 x - 2 h + 1$

ステップ 4.2.2.4

$3 x h$ と $3 x^{2}$ を並べ替えます。

$3 x^{2} + 3 x h + h^{2} - 4 x - 2 h + 1$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例