微分積分学準備例

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$ ; $[8, 14]$

ステップ 1

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$ を方程式で書きます。

$y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$

ステップ 2

平均変化率の公式を利用して代入します。

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ステップ 2.1

関数の平均変化率は、2点の $y$ 値の変化を2点の $x$ 値の変化で割ることで求めることができます。

$\frac{f (14) - f (8)}{(14) - (8)}$

ステップ 2.2

式 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x + 1$ を $f (14)$ と $f (8)$ に代入し、関数の $x$ を対応する $x$ 値に置換します。

$\frac{(- \frac{1}{2} \cdot {(14)}^{2} + 3 (14) + 1) - (- \frac{1}{2} \cdot {(8)}^{2} + 3 (8) + 1)}{(14) - (8)}$

ステップ 3

式を簡約します。

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ステップ 3.1

分子を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$14$ を $2$ 乗します。

$\frac{- \frac{1}{2} \cdot 196 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{\frac{- 1}{2} \cdot 196 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.2.2

$2$ を $196$ で因数分解します。

$\frac{\frac{- 1}{2} \cdot (2 (98)) + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 98) + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.2.4

式を書き換えます。

$\frac{- 1 \cdot 98 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.3

$- 1$ に $98$ をかけます。

$\frac{- 98 + 3 (14) + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.4

$3$ に $14$ をかけます。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 8^{2} + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.5

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.5.1

$8$ を $2$ 乗します。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- \frac{1}{2} \cdot 64 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.5.2

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.1.5.2.1

$- \frac{1}{2}$ の先頭の負を分子に移動させます。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (\frac{- 1}{2} \cdot 64 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.5.2.2

$2$ を $64$ で因数分解します。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (\frac{- 1}{2} \cdot (2 (32)) + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.5.2.3

共通因数を約分します。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (\frac{- 1}{2} \cdot (2 \cdot 32) + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.5.2.4

式を書き換えます。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 1 \cdot 32 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.5.3

$- 1$ に $32$ をかけます。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 32 + 3 (8) + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.5.4

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 32 + 24 + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.6

$- 32$ と $24$ をたし算します。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - (- 8 + 1)}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.7

$- 8$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 98 + 42 + 1 - - 7}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.8

$- 1$ に $- 7$ をかけます。

$\frac{- 98 + 42 + 1 + 7}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.9

$- 98$ と $42$ をたし算します。

$\frac{- 56 + 1 + 7}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.10

$- 56$ と $1$ をたし算します。

$\frac{- 55 + 7}{14 - (8)}$

ステップ 3.1.11

$- 55$ と $7$ をたし算します。

$\frac{- 48}{14 - (8)}$

ステップ 3.2

分母を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{- 48}{14 - 8}$

ステップ 3.2.2

$14$ から $8$ を引きます。

$\frac{- 48}{6}$

ステップ 3.3

$- 48$ を $6$ で割ります。

$- 8$

微分積分学準備 例

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