微分積分学準備例

$f (x) = \tan (2 x)$

ステップ 1

差分係数の公式を考えます。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

ステップ 2

決定成分を求めます。

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ステップ 2.1

$x = x + h$ で関数値を求めます。

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ステップ 2.1.1

式の変数 $x$ を $x + h$ で置換えます。

$f (x + h) = \tan (2 (x + h))$

ステップ 2.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 2.1.2.1

分配則を当てはめます。

$f (x + h) = \tan (2 x + 2 h)$

ステップ 2.1.2.2

最終的な答えは $\tan (2 x + 2 h)$ です。

$\tan (2 x + 2 h)$

ステップ 2.2

決定成分を求めます。

$f (x + h) = \tan (2 x + 2 h)$

$f (x) = \tan (2 x)$

$f (x + h) = \tan (2 x + 2 h)$

$f (x) = \tan (2 x)$

ステップ 3

成分に代入します。

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\tan (2 x + 2 h) - (\tan (2 x))}{h}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

Use a sum or difference formula on the numerator.

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ステップ 4.1.1

正切の和の公式を利用して式を簡約します。公式は $\tan (A + B) = \frac{\tan (A) + \tan (B)}{1 - \tan (A) \tan (B)}$ ということが述べられています。

$\frac{(\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}) - (\tan (2 x))}{h}$

ステップ 4.1.2

簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

$- \tan (2 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}$ を掛けます。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)} - \tan (2 x) \cdot \frac{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.2

項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.2.1

$- \tan (2 x)$ と $\frac{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}$ をまとめます。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)} + \frac{- \tan (2 x) (1 - \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.2.2

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) (1 - \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3

分子を簡約します。

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ステップ 4.1.2.3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) \cdot 1 - \tan (2 x) (- \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) - \tan (2 x) (- \tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.3

$- \tan (2 x) (- \tan (2 x) \tan (2 h))$ を掛けます。

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ステップ 4.1.2.3.3.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + 1 \tan (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.3.2

$\tan (2 x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan (2 x) (\tan (2 x) \tan (2 h))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.3.3

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.3.4

$\tan (2 x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan (2 x) \tan (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + {\tan (2 x)}^{1 + 1} \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\frac{\tan (2 x) + \tan (2 h) - \tan (2 x) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.4

$\tan (2 x)$ から $\tan (2 x)$ を引きます。

$\frac{\frac{0 + \tan (2 h) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.5

$0$ と $\tan (2 h)$ をたし算します。

$\frac{\frac{\tan (2 h) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.6

$\tan (2 h)$ を $\tan (2 h) + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.2.3.6.1

$1$ を掛けます。

$\frac{\frac{\tan (2 h) \cdot 1 + \tan^{2} (2 x) \tan (2 h)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.6.2

$\tan (2 h)$ を $\tan^{2} (2 x) \tan (2 h)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\tan (2 h) \cdot 1 + \tan (2 h) \tan^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.6.3

$\tan (2 h)$ を $\tan (2 h) \cdot 1 + \tan (2 h) \tan^{2} (2 x)$ で因数分解します。

$\frac{\frac{\tan (2 h) (1 + \tan^{2} (2 x))}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.7

項を並べ替えます。

$\frac{\frac{\tan (2 h) (\tan^{2} (2 x) + 1)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.1.2.3.8

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}}{h}$

ステップ 4.2

簡約します。

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ステップ 4.2.1

分子に分母の逆数を掛けます。

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)} \cdot \frac{1}{h}$

ステップ 4.2.2

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{1 - \tan (2 x) \tan (2 h)}$ に $\frac{1}{h}$ をかけます。

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{(1 - \tan (2 x) \tan (2 h)) h}$

ステップ 4.2.3

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{(1 - \tan (2 x) \tan (2 h)) h}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{\tan (2 h) \sec^{2} (2 x)}{h (1 - \tan (2 x) \tan (2 h))}$

ステップ 5

微分積分学準備 例

微分積分学準備例