微分積分学準備例

$\frac{2 x^{3} - 4 x^{2} - 15 x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

ステップ 1

筆算での多項式の割算を使って割ります。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 1.1

多項式を分割します。すべての指数に項がない場合、 $0$ の値の項を挿入します。

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

ステップ 1.2

被除数 $2 x^{3}$ の最高次項を除数 $x^{2}$ の最高次項で割ります。

							$2 x$
	$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$

ステップ 1.3

新しい商の項に除数を掛けます。

						$2 x$
$x^{2}$	-	$2 x$	-	$8$		$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$15 x$	+	$5$
					+	$2 x^{3}$	-	$4 x^{2}$	-	$16 x$

ステップ 1.4

式は被除数から引く必要があるので、 $2 x^{3} - 4 x^{2} - 16 x$ の符号をすべて変更します。

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

ステップ 1.5

記号を変更した後、乗算多項式から最後の被除数を加えて新しい被除数を求めます。

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

ステップ 1.6

元の被除数から次の項を現在の被除数に引き下げます。

$2 x$

$x^{2}$

$2 x$

$8$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$15 x$

$5$

$2 x^{3}$

$4 x^{2}$

$16 x$

$x$

$5$

ステップ 1.7

最終的な答えは商と除数の余りを足したものです。

$2 x + \frac{x + 5}{x^{2} - 2 x - 8}$

ステップ 2

分数を分解し、公分母を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

たすき掛けを利用して $x^{2} - 2 x - 8$ を因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 8$ で、その和が $- 2$ です。

$- 4, 2$

ステップ 2.1.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{x + 5}{(x - 4) (x + 2)}$

ステップ 2.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 4}$

ステップ 2.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$

ステップ 2.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 4) (x + 2)$ です。

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.5

$x - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 5) (x - 4) (x + 2)}{(x - 4) (x + 2)} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.5.2

式を書き換えます。

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.6

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{(x + 5) (x + 2)}{x + 2} = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.6.2

$x + 5$ を $1$ で割ります。

$x + 5 = \frac{(A) (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.7

各項を簡約します。

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ステップ 2.7.1

$x - 4$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.1.1

共通因数を約分します。

$x + 5 = \frac{A (x - 4) (x + 2)}{x - 4} + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.7.1.2

$(A) (x + 2)$ を $1$ で割ります。

$x + 5 = (A) (x + 2) + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.7.2

分配則を当てはめます。

$x + 5 = A x + A \cdot 2 + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.7.3

$2$ を $A$ の左に移動させます。

$x + 5 = A x + 2 \cdot A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.7.4

$x + 2$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.7.4.1

共通因数を約分します。

$x + 5 = A x + 2 A + \frac{(B) (x - 4) (x + 2)}{x + 2}$

ステップ 2.7.4.2

$(B) (x - 4)$ を $1$ で割ります。

$x + 5 = A x + 2 A + (B) (x - 4)$

ステップ 2.7.5

分配則を当てはめます。

$x + 5 = A x + 2 A + B x + B \cdot - 4$

ステップ 2.7.6

$- 4$ を $B$ の左に移動させます。

$x + 5 = A x + 2 A + B x - 4 B$

ステップ 2.8

$2 A$ を移動させます。

$x + 5 = A x + B x + 2 A - 4 B$

ステップ 3

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 3.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$1 = A + B$

ステップ 3.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$5 = 2 A - 4 B$

ステップ 3.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

$1 = A + B$

$5 = 2 A - 4 B$

ステップ 4

連立方程式を解きます。

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ステップ 4.1

$1 = A + B$ の $A$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1.1

方程式を $A + B = 1$ として書き換えます。

$A + B = 1$

$5 = 2 A - 4 B$

ステップ 4.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 A - 4 B$

ステップ 4.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.1

$5 = 2 A - 4 B$ の $A$ のすべての発生を $1 - B$ で置き換えます。

$5 = 2 (1 - B) - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.2.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$2 (1 - B) - 4 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$5 = 2 \cdot 1 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.2.2.1.1.2

$2$ に $1$ をかけます。

$5 = 2 + 2 (- B) - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.2.2.1.1.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 2 B - 4 B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.2.2.1.2

$- 2 B$ から $4 B$ を引きます。

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

$5 = 2 - 6 B$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3

$5 = 2 - 6 B$ の $B$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.1

方程式を $2 - 6 B = 5$ として書き換えます。

$2 - 6 B = 5$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$- 6 B = 5 - 2$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.2.2

$5$ から $2$ を引きます。

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

$- 6 B = 3$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.3

$- 6 B = 3$ の各項を $- 6$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.1

$- 6 B = 3$ の各項を $- 6$ で割ります。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.3.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1

$- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 6 B}{- 6} = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{3}{- 6}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.3.3

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1

$3$ と $- 6$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1.1

$3$ を $3$ で因数分解します。

$B = \frac{3 (1)}{- 6}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.3.3.1.2

共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.3.3.1.2.1

$3$ を $- 6$ で因数分解します。

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.3.3.1.2.2

共通因数を約分します。

$B = \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot - 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.3.3.1.2.3

式を書き換えます。

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{- 2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.3.3.3.2

分数の前に負数を移動させます。

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

ステップ 4.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $- \frac{1}{2}$ で置き換えます。

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ステップ 4.4.1

$A = 1 - B$ の $B$ のすべての発生を $- \frac{1}{2}$ で置き換えます。

$A = 1 - (- \frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1

$1 - (- \frac{1}{2})$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1

$- (- \frac{1}{2})$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.2.1.1.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$A = 1 + 1 (\frac{1}{2})$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.2.1.1.2

$\frac{1}{2}$ に $1$ をかけます。

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = 1 + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.2.1.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$A = \frac{2}{2} + \frac{1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{2 + 1}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.4.2.1.4

$2$ と $1$ をたし算します。

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

$A = \frac{3}{2}$

$B = - \frac{1}{2}$

ステップ 4.5

すべての解をまとめます。

$A = \frac{3}{2}, B = - \frac{1}{2}$

ステップ 5

$2 x + \frac{A}{x - 4} + \frac{B}{x + 2}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$2 x + \frac{\frac{3}{2}}{x - 4} + \frac{- \frac{1}{2}}{x + 2}$

微分積分学準備 例

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