微分積分学準備例

$h (x) = \sqrt{\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}}$

ステップ 1

$\sqrt{\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

各因数を $0$ に等しくして解くことで、式が負から正に切り替わるすべての値を求めます。

$x + 2 = 0$

$x^{2} - 5 x = 0$

ステップ 2.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 2.3

$x$ を $x^{2} - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.3.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 5 x = 0$

ステップ 2.3.2

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

ステップ 2.3.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 5$ で因数分解します。

$x (x - 5) = 0$

ステップ 2.4

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2.5

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.6

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.6.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.6.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.7

最終解は $x (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5$

ステップ 2.8

各因数について解き、絶対値式が負から正になる値を求めます。

$x = - 2$

$x = 0, 5$

ステップ 2.9

解をまとめます。

$x = - 2, 0, 5$

ステップ 2.10

$\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}$ の定義域を求めます。

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ステップ 2.10.1

$\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 5 x = 0$

ステップ 2.10.2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.10.2.1

$x$ を $x^{2} - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 2.10.2.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 5 x = 0$

ステップ 2.10.2.1.2

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

ステップ 2.10.2.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 5$ で因数分解します。

$x (x - 5) = 0$

ステップ 2.10.2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 2.10.2.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 2.10.2.4

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 2.10.2.4.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 2.10.2.4.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 2.10.2.5

最終解は $x (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5$

ステップ 2.10.3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

$(- \infty, 0) \cup (0, 5) \cup (5, \infty)$

ステップ 2.11

各根を利用して検定区間を作成します。

$x < - 2$

$- 2 < x < 0$

$0 < x < 5$

$x > 5$

ステップ 2.12

各区間から試験値を選び、この値を元の不等式に代入して、どの区間が不等式を満たすか判定します。

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ステップ 2.12.1

区間 $x < - 2$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.1.1

区間 $x < - 2$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 4$

ステップ 2.12.1.2

$x$ を元の不等式の $- 4$ で置き換えます。

$\frac{(- 4) + 2}{{(- 4)}^{2} - 5 \cdot - 4} \geq 0$

ステップ 2.12.1.3

左辺 $- 0.0\overline{5}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.12.2

区間 $- 2 < x < 0$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.2.1

区間 $- 2 < x < 0$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = - 1$

ステップ 2.12.2.2

$x$ を元の不等式の $- 1$ で置き換えます。

$\frac{(- 1) + 2}{{(- 1)}^{2} - 5 \cdot - 1} \geq 0$

ステップ 2.12.2.3

左辺 $0.1\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.12.3

区間 $0 < x < 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.3.1

区間 $0 < x < 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 2$

ステップ 2.12.3.2

$x$ を元の不等式の $2$ で置き換えます。

$\frac{(2) + 2}{{(2)}^{2} - 5 \cdot 2} \geq 0$

ステップ 2.12.3.3

左辺 $- 0.\overline{6}$ は右辺 $0$ より小さいです。つまり、与えられた文は偽です。

偽

ステップ 2.12.4

区間 $x > 5$ の値を検定し、この値によって不等式が真になるか確認します。

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ステップ 2.12.4.1

区間 $x > 5$ の値を選び、この値によって元の不等式が真になるか確認します。

$x = 8$

ステップ 2.12.4.2

$x$ を元の不等式の $8$ で置き換えます。

$\frac{(8) + 2}{{(8)}^{2} - 5 \cdot 8} \geq 0$

ステップ 2.12.4.3

左辺 $0.41\overline{6}$ は右辺 $0$ より大きいです。つまり、与えられた文は常に真です。

真

ステップ 2.12.5

区間を比較して、どちらが元の不等式を満たすか判定します。

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

$x < - 2$ 偽

$- 2 < x < 0$ 真

$0 < x < 5$ 偽

$x > 5$ 真

ステップ 2.13

解はすべての真の区間からなります。

$- 2 \leq x < 0$ または $x > 5$

ステップ 3

$\frac{x + 2}{x^{2} - 5 x}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$x^{2} - 5 x = 0$

ステップ 4

$x$ について解きます。

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ステップ 4.1

$x$ を $x^{2} - 5 x$ で因数分解します。

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ステップ 4.1.1

$x$ を $x^{2}$ で因数分解します。

$x \cdot x - 5 x = 0$

ステップ 4.1.2

$x$ を $- 5 x$ で因数分解します。

$x \cdot x + x \cdot - 5 = 0$

ステップ 4.1.3

$x$ を $x \cdot x + x \cdot - 5$ で因数分解します。

$x (x - 5) = 0$

ステップ 4.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x - 5 = 0$

ステップ 4.3

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 4.4

$x - 5$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 4.4.1

$x - 5$ が $0$ に等しいとします。

$x - 5 = 0$

ステップ 4.4.2

方程式の両辺に $5$ を足します。

$x = 5$

ステップ 4.5

最終解は $x (x - 5) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, 5$

ステップ 5

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$[- 2, 0) \cup (5, \infty)$

集合の内包的記法：

${x | - 2 \leq x < 0, x > 5}$

ステップ 6

微分積分学準備 例

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