微分積分学準備例

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ を方程式で書きます。

$y = \frac{x^{5} - 6}{9}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = \frac{y^{5} - 6}{9}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

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ステップ 3.1

方程式を $\frac{y^{5} - 6}{9} = x$ として書き換えます。

$\frac{y^{5} - 6}{9} = x$

ステップ 3.2

方程式の両辺に $9$ を掛けます。

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

ステップ 3.3

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.3.1.1

共通因数を約分します。

$9 \frac{y^{5} - 6}{9} = 9 x$

ステップ 3.3.1.2

式を書き換えます。

$y^{5} - 6 = 9 x$

ステップ 3.4

方程式の両辺に $6$ を足します。

$y^{5} = 9 x + 6$

ステップ 3.5

方程式の両辺の指定した根をとり、左辺の指数を消去します。

$y = \sqrt[5]{9 x + 6}$

ステップ 3.6

$3$ を $9 x + 6$ で因数分解します。

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ステップ 3.6.1

$3$ を $9 x$ で因数分解します。

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 6}$

ステップ 3.6.2

$3$ を $6$ で因数分解します。

$y = \sqrt[5]{3 (3 x) + 3 (2)}$

ステップ 3.6.3

$3$ を $3 (3 x) + 3 (2)$ で因数分解します。

$y = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ が $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ の逆か確認します。

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ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{9}) + 2)}$

ステップ 5.2.3

$3$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$3$ を $9$ で因数分解します。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 (3)}) + 2)}$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (3 (\frac{x^{5} - 6}{3 \cdot 3}) + 2)}$

ステップ 5.2.3.3

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2)}$

ステップ 5.2.4

$2$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3})}$

ステップ 5.2.5

$2$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3})}$

ステップ 5.2.6

公分母の分子をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} - 6 + 2 \cdot 3}{3})}$

ステップ 5.2.7

項を並べ替えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3})}$

ステップ 5.2.8

因数分解した形で $\frac{x^{5} + 2 \cdot 3 - 6}{3}$ を書き換えます。

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ステップ 5.2.8.1

$2$ に $3$ をかけます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 6 - 6}{3})}$

ステップ 5.2.8.2

$6$ から $6$ を引きます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5} + 0}{3})}$

ステップ 5.2.8.3

$x^{5}$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{3 (\frac{x^{5}}{3})}$

ステップ 5.2.9

$3$ と $\frac{x^{5}}{3}$ をまとめます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

ステップ 5.2.10

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 5.2.10.1

今日数因数で約分することで式 $\frac{3 x^{5}}{3}$ を約分します。

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ステップ 5.2.10.1.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{3 x^{5}}{3}}$

ステップ 5.2.10.1.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{\frac{x^{5}}{1}}$

ステップ 5.2.10.2

$x^{5}$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = \sqrt[5]{x^{5}}$

ステップ 5.2.11

実数と仮定して、累乗根の下から項を取り出します。

$f^{- 1} (\frac{x^{5} - 6}{9}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

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ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})$ の値を求めます。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(\sqrt[5]{3 (3 x + 2)})}^{5} - 6}{9}$

ステップ 5.3.3

分子を簡約します。

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ステップ 5.3.3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ を ${(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}}$ に書き換えます。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 6}{9}$

ステップ 5.3.3.2

${({(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5}})}^{5}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.3.3.2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

ステップ 5.3.3.2.2

$5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.3.2.2.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{{(3 (3 x + 2))}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 6}{9}$

ステップ 5.3.3.2.2.2

式を書き換えます。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x + 2)) - 6}{9}$

ステップ 5.3.3.3

分配則を当てはめます。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(3 (3 x) + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

ステップ 5.3.3.4

$3$ に $3$ をかけます。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 3 \cdot 2) - 6}{9}$

ステップ 5.3.3.5

$3$ に $2$ をかけます。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{(9 x + 6) - 6}{9}$

ステップ 5.3.3.6

簡約します。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 6 - 6}{9}$

ステップ 5.3.3.7

$6$ から $6$ を引きます。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x + 0}{9}$

ステップ 5.3.3.8

$9 x$ と $0$ をたし算します。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

ステップ 5.3.4

$9$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.4.1

共通因数を約分します。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = \frac{9 x}{9}$

ステップ 5.3.4.2

$x$ を $1$ で割ります。

$f (\sqrt[5]{3 (3 x + 2)}) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$ は $f (x) = \frac{x^{5} - 6}{9}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{3 (3 x + 2)}$

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