微分積分学準備例

$f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ ; find $f^{- 1} (x)$

ステップ 1

$f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ を方程式で書きます。

$y = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 2

変数を入れ替えます。

$x = 9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 3

$y$ について解きます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

方程式を $9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ として書き換えます。

$9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$

ステップ 3.2

$9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ の各項を $9$ で割り、簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.1

$9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = x$ の各項を $9$ で割ります。

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

ステップ 3.2.2

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{9 {(y + 9)}^{\frac{1}{3}}}{9} = \frac{x}{9}$

ステップ 3.2.2.2

${(y + 9)}^{\frac{1}{3}}$ を $1$ で割ります。

${(y + 9)}^{\frac{1}{3}} = \frac{x}{9}$

ステップ 3.3

方程式の両辺を $3$ 乗し、左辺の分数指数を消去します。

${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

ステップ 3.4

指数を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1

左辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1

${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1

${({(y + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

ステップ 3.4.1.1.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.1.1.1.2.1

共通因数を約分します。

${(y + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

ステップ 3.4.1.1.1.2.2

式を書き換えます。

${(y + 9)}^{1} = {(\frac{x}{9})}^{3}$

ステップ 3.4.1.1.2

簡約します。

$y + 9 = {(\frac{x}{9})}^{3}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1

${(\frac{x}{9})}^{3}$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.4.2.1.1

積の法則を $\frac{x}{9}$ に当てはめます。

$y + 9 = \frac{x^{3}}{9^{3}}$

ステップ 3.4.2.1.2

$9$ を $3$ 乗します。

$y + 9 = \frac{x^{3}}{729}$

ステップ 3.5

方程式の両辺から $9$ を引きます。

$y = \frac{x^{3}}{729} - 9$

ステップ 4

$y$ を $f^{- 1} (x)$ で置き換え、最終回答を表示します。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$

ステップ 5

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ が $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ の逆か確認します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

逆を確認するために、 $f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ か確認します。

ステップ 5.2

$f^{- 1} (f (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.1

合成結果関数を立てます。

$f^{- 1} (f (x))$

ステップ 5.2.2

$f^{- 1}$ に $f$ の値を代入し、 $f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})$ の値を求めます。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{{(9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

ステップ 5.2.3

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.1

積の法則を $9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ に当てはめます。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{9^{3} {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

ステップ 5.2.3.1.2

$9$ を $3$ 乗します。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{729} - 9$

ステップ 5.2.3.1.3

${({(x + 9)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

ステップ 5.2.3.1.3.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.1.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 {(x + 9)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{729} - 9$

ステップ 5.2.3.1.3.2.2

式を書き換えます。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

ステップ 5.2.3.1.4

簡約します。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

ステップ 5.2.3.2

$729$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.3.2.1

共通因数を約分します。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = \frac{729 (x + 9)}{729} - 9$

ステップ 5.2.3.2.2

$x + 9$ を $1$ で割ります。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 9 - 9$

ステップ 5.2.4

$x + 9 - 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.2.4.1

$9$ から $9$ を引きます。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x + 0$

ステップ 5.2.4.2

$x$ と $0$ をたし算します。

$f^{- 1} (9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}) = x$

ステップ 5.3

$f (f^{- 1} (x))$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

合成結果関数を立てます。

$f (f^{- 1} (x))$

ステップ 5.3.2

$f$ に $f^{- 1}$ の値を代入し、 $f (\frac{x^{3}}{729} - 9)$ の値を求めます。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {((\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.3.3

項を加えて簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1

$(\frac{x^{3}}{729} - 9) + 9$ の反対側の項を組み合わせます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.3.1.1

$- 9$ と $9$ をたし算します。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729} + 0)}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.3.3.1.2

$\frac{x^{3}}{729}$ と $0$ をたし算します。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 {(\frac{x^{3}}{729})}^{\frac{1}{3}}$

ステップ 5.3.3.2

積の法則を $\frac{x^{3}}{729}$ に当てはめます。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{{(x^{3})}^{\frac{1}{3}}}{729^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 5.3.4

分子を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1

${(x^{3})}^{\frac{1}{3}}$ の指数を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 5.3.4.1.2

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.4.1.2.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x^{3 (\frac{1}{3})}}{729^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 5.3.4.1.2.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 5.3.4.2

簡約します。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{729^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 5.3.5

分母を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.1

$729$ を $9^{3}$ に書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{{(9^{3})}^{\frac{1}{3}}})$

ステップ 5.3.5.2

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

ステップ 5.3.5.3

$3$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.5.3.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9^{3 (\frac{1}{3})}})$

ステップ 5.3.5.3.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

ステップ 5.3.5.4

指数を求めます。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

ステップ 5.3.6

$9$ の共通因数を約分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.6.1

共通因数を約分します。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = 9 (\frac{x}{9})$

ステップ 5.3.6.2

式を書き換えます。

$f (\frac{x^{3}}{729} - 9) = x$

ステップ 5.4

$f^{- 1} (f (x)) = x$ と $f (f^{- 1} (x)) = x$ なので、 $f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$ は $f (x) = 9 {(x + 9)}^{\frac{1}{3}}$ の逆です。

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{3}}{729} - 9$

微分積分学準備 例

微分積分学準備例