微分積分学準備例

$f (x) = \sqrt{3 - e^{2 x}}$

ステップ 1

$\sqrt{3 - e^{2 x}}$ の被開数を $0$ 以上として、式が定義である場所を求めます。

$3 - e^{2 x} \geq 0$

ステップ 2

$x$ について解きます。

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ステップ 2.1

不等式の両辺から $3$ を引きます。

$- e^{2 x} \geq - 3$

ステップ 2.2

$- e^{2 x} \geq - 3$ の各項を $- 1$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.2.1

$- e^{2 x} \geq - 3$ の各項を $- 1$ で割ります。不等式の両辺を負の値でかけ算またはわり算するとき、不等号の向きを逆にします。

$\frac{- e^{2 x}}{- 1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.2.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.2.2.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$\frac{e^{2 x}}{1} \leq \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.2.2.2

$e^{2 x}$ を $1$ で割ります。

$e^{2 x} \leq \frac{- 3}{- 1}$

$e^{2 x} \leq \frac{- 3}{- 1}$

ステップ 2.2.3

右辺を簡約します。

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ステップ 2.2.3.1

$- 3$ を $- 1$ で割ります。

$e^{2 x} \leq 3$

$e^{2 x} \leq 3$

$e^{2 x} \leq 3$

ステップ 2.3

方程式の両辺の自然対数をとり、指数から変数を削除します。

$\ln (e^{2 x}) \leq \ln (3)$

ステップ 2.4

左辺を展開します。

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ステップ 2.4.1

$2 x$ を対数の外に移動させて、 $\ln (e^{2 x})$ を展開します。

$2 x \ln (e) \leq \ln (3)$

ステップ 2.4.2

$e$ の自然対数は $1$ です。

$2 x \cdot 1 \leq \ln (3)$

ステップ 2.4.3

$2$ に $1$ をかけます。

$2 x \leq \ln (3)$

$2 x \leq \ln (3)$

ステップ 2.5

$2 x \leq \ln (3)$ の各項を $2$ で割り、簡約します。

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ステップ 2.5.1

$2 x \leq \ln (3)$ の各項を $2$ で割ります。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\ln (3)}{2}$

ステップ 2.5.2

左辺を簡約します。

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ステップ 2.5.2.1

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 2.5.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\ln (3)}{2}$

ステップ 2.5.2.1.2

$x$ を $1$ で割ります。

$x \leq \frac{\ln (3)}{2}$

$x \leq \frac{\ln (3)}{2}$

$x \leq \frac{\ln (3)}{2}$

$x \leq \frac{\ln (3)}{2}$

$x \leq \frac{\ln (3)}{2}$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $x$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, \frac{\ln (3)}{2}]$

集合の内包的記法：

${x | x \leq \frac{\ln (3)}{2}}$

ステップ 4

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$