微分積分学準備例

$\frac{6 x^{2} + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

ステップ 1

分数を分解し、公分母を掛けます。

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ステップ 1.1

分数を因数分解します。

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ステップ 1.1.1

$3$ を $6 x^{2} + 12 x - 177$ で因数分解します。

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ステップ 1.1.1.1

$3$ を $6 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{2}) + 12 x - 177}{x^{2} + x - 30}$

ステップ 1.1.1.2

$3$ を $12 x$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) - 177}{x^{2} + x - 30}$

ステップ 1.1.1.3

$3$ を $- 177$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

ステップ 1.1.1.4

$3$ を $3 (2 x^{2}) + 3 (4 x)$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)}{x^{2} + x - 30}$

ステップ 1.1.1.5

$3$ を $3 (2 x^{2} + 4 x) + 3 (- 59)$ で因数分解します。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{x^{2} + x - 30}$

ステップ 1.1.2

たすき掛けを利用して $x^{2} + x - 30$ を因数分解します。

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ステップ 1.1.2.1

$x^{2} + b x + c$ の形式を考えます。積が $c$ で和が $b$ である整数の組を求めます。このとき、その積が $- 30$ で、その和が $1$ です。

$- 5, 6$

ステップ 1.1.2.2

この整数を利用して因数分解の形を書きます。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59)}{(x - 5) (x + 6)}$

ステップ 1.2

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $A$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 5}$

ステップ 1.3

分母の各因数に対して、その因数を分母として、未知の値を分子として利用し、新たな分数を作成します。分母の因数は線形なので、その場所 $B$ には1個の変数を置きます。

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$

ステップ 1.4

方程式の各分数に元の式の分母を掛けます。この場合、分母は $(x - 5) (x + 6)$ です。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.5

$x - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x - 5) (x + 6)}{(x - 5) (x + 6)} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.5.2

式を書き換えます。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.6

$x + 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 (2 x^{2} + 4 x - 59) (x + 6)}{x + 6} = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.6.2

$3 (2 x^{2} + 4 x - 59)$ を $1$ で割ります。

$3 (2 x^{2} + 4 x - 59) = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.7

分配則を当てはめます。

$3 (2 x^{2}) + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.8

簡約します。

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ステップ 1.8.1

$2$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 3 (4 x) + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.8.2

$4$ に $3$ をかけます。

$6 x^{2} + 12 x + 3 \cdot - 59 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.8.3

$3$ に $- 59$ をかけます。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{(A) (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.9

各項を簡約します。

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ステップ 1.9.1

$x - 5$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.1.1

共通因数を約分します。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = \frac{A (x - 5) (x + 6)}{x - 5} + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.9.1.2

$(A) (x + 6)$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = (A) (x + 6) + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.9.2

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + A \cdot 6 + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.9.3

$6$ を $A$ の左に移動させます。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 \cdot A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.9.4

$x + 6$ の共通因数を約分します。

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ステップ 1.9.4.1

共通因数を約分します。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + \frac{(B) (x - 5) (x + 6)}{x + 6}$

ステップ 1.9.4.2

$(B) (x - 5)$ を $1$ で割ります。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + (B) (x - 5)$

ステップ 1.9.5

分配則を当てはめます。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x + B \cdot - 5$

ステップ 1.9.6

$- 5$ を $B$ の左に移動させます。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + 6 A + B x - 5 B$

ステップ 1.10

$6 A$ を移動させます。

$6 x^{2} + 12 x - 177 = A x + B x + 6 A - 5 B$

ステップ 2

部分分数の変数について方程式を作成し、それらを使って連立方程式を立てます。

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ステップ 2.1

式の両辺から $x$ の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$12 = A + B$

ステップ 2.2

式の両辺から $x$ を含まない項の係数を等しくし、部分分数の変数の方程式を作成します。方程式を等しくするために、方程式の両辺の等価係数は等しくなければなりません。

$- 177 = 6 A - 5 B$

ステップ 2.3

連立方程式を立て、部分分数の係数を求めます。

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$12 = A + B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

ステップ 3

連立方程式を解きます。

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ステップ 3.1

$12 = A + B$ の $A$ について解きます。

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ステップ 3.1.1

方程式を $A + B = 12$ として書き換えます。

$A + B = 12$

$- 177 = 6 A - 5 B$

ステップ 3.1.2

方程式の両辺から $B$ を引きます。

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 6 A - 5 B$

ステップ 3.2

各方程式の $A$ のすべての発生を $12 - B$ で置き換えます。

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ステップ 3.2.1

$- 177 = 6 A - 5 B$ の $A$ のすべての発生を $12 - B$ で置き換えます。

$- 177 = 6 (12 - B) - 5 B$

$A = 12 - B$

ステップ 3.2.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.2.2.1

$6 (12 - B) - 5 B$ を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.2.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$- 177 = 6 \cdot 12 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.2

$6$ に $12$ をかけます。

$- 177 = 72 + 6 (- B) - 5 B$

$A = 12 - B$

ステップ 3.2.2.1.1.3

$- 1$ に $6$ をかけます。

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 6 B - 5 B$

$A = 12 - B$

ステップ 3.2.2.1.2

$- 6 B$ から $5 B$ を引きます。

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

$- 177 = 72 - 11 B$

$A = 12 - B$

ステップ 3.3

$- 177 = 72 - 11 B$ の $B$ について解きます。

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ステップ 3.3.1

方程式を $72 - 11 B = - 177$ として書き換えます。

$72 - 11 B = - 177$

$A = 12 - B$

ステップ 3.3.2

$B$ を含まないすべての項を方程式の右辺に移動させます。

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ステップ 3.3.2.1

方程式の両辺から $72$ を引きます。

$- 11 B = - 177 - 72$

$A = 12 - B$

ステップ 3.3.2.2

$- 177$ から $72$ を引きます。

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

$- 11 B = - 249$

$A = 12 - B$

ステップ 3.3.3

$- 11 B = - 249$ の各項を $- 11$ で割り、簡約します。

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ステップ 3.3.3.1

$- 11 B = - 249$ の各項を $- 11$ で割ります。

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

ステップ 3.3.3.2

左辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.2.1

$- 11$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.3.3.2.1.1

共通因数を約分します。

$\frac{- 11 B}{- 11} = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

ステップ 3.3.3.2.1.2

$B$ を $1$ で割ります。

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{- 249}{- 11}$

$A = 12 - B$

ステップ 3.3.3.3

右辺を簡約します。

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ステップ 3.3.3.3.1

2つの負の値を割ると正の値になります。

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

$B = \frac{249}{11}$

$A = 12 - B$

ステップ 3.4

各方程式の $B$ のすべての発生を $\frac{249}{11}$ で置き換えます。

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ステップ 3.4.1

$A = 12 - B$ の $B$ のすべての発生を $\frac{249}{11}$ で置き換えます。

$A = 12 - (\frac{249}{11})$

$B = \frac{249}{11}$

ステップ 3.4.2

右辺を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1

$12 - (\frac{249}{11})$ を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.1

$12$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{11}{11}$ を掛けます。

$A = 12 \cdot \frac{11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

ステップ 3.4.2.1.2

$12$ と $\frac{11}{11}$ をまとめます。

$A = \frac{12 \cdot 11}{11} - \frac{249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

ステップ 3.4.2.1.3

公分母の分子をまとめます。

$A = \frac{12 \cdot 11 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

ステップ 3.4.2.1.4

分子を簡約します。

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ステップ 3.4.2.1.4.1

$12$ に $11$ をかけます。

$A = \frac{132 - 249}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

ステップ 3.4.2.1.4.2

$132$ から $249$ を引きます。

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = \frac{- 117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

ステップ 3.4.2.1.5

分数の前に負数を移動させます。

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

$A = - \frac{117}{11}$

$B = \frac{249}{11}$

ステップ 3.5

すべての解をまとめます。

$A = - \frac{117}{11}, B = \frac{249}{11}$

ステップ 4

$\frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x + 6}$ の各部分分数の係数を $A$ と $B$ で求めた値で置き換えます。

$\frac{- \frac{117}{11}}{x - 5} + \frac{\frac{249}{11}}{x + 6}$

微分積分学準備 例

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