微分積分学準備例

$r (t) = \frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$

ステップ 1

$\frac{t^{2} - 1}{t^{3} + 6 t^{2} + t}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

$t^{3} + 6 t^{2} + t = 0$

ステップ 2

$t$ について解きます。

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ステップ 2.1

$t$ を $t^{3} + 6 t^{2} + t$ で因数分解します。

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ステップ 2.1.1

$t$ を $t^{3}$ で因数分解します。

$t \cdot t^{2} + 6 t^{2} + t = 0$

ステップ 2.1.2

$t$ を $6 t^{2}$ で因数分解します。

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

ステップ 2.1.3

$t$ を $1$ 乗します。

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t = 0$

ステップ 2.1.4

$t$ を $t^{1}$ で因数分解します。

$t \cdot t^{2} + t (6 t) + t \cdot 1 = 0$

ステップ 2.1.5

$t$ を $t \cdot t^{2} + t (6 t)$ で因数分解します。

$t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1 = 0$

ステップ 2.1.6

$t$ を $t (t^{2} + 6 t) + t \cdot 1$ で因数分解します。

$t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$

ステップ 2.2

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$t = 0$

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

ステップ 2.3

$t$ が $0$ に等しいとします。

$t = 0$

ステップ 2.4

$t^{2} + 6 t + 1$ を $0$ に等しくし、 $t$ を解きます。

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ステップ 2.4.1

$t^{2} + 6 t + 1$ が $0$ に等しいとします。

$t^{2} + 6 t + 1 = 0$

ステップ 2.4.2

$t$ について $t^{2} + 6 t + 1 = 0$ を解きます。

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ステップ 2.4.2.1

二次方程式の解の公式を利用して解を求めます。

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

ステップ 2.4.2.2

$a = 1$ 、 $b = 6$ 、および $c = 1$ を二次方程式の解の公式に代入し、 $t$ の値を求めます。

$\frac{- 6 \pm \sqrt{6^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3

簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.3.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.3.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.3

$36$ から $4$ を引きます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

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ステップ 2.4.2.3.1.4.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.3.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.3.3

$\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

ステップ 2.4.2.4

式を簡約し、 $\pm$ の $+$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.2.4.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.4.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.4.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.3

$36$ から $4$ を引きます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.4

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.4.1.4.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.4.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.4.3

$\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

ステップ 2.4.2.4.4

$\pm$ を $+$ に変更します。

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}$

ステップ 2.4.2.5

式を簡約し、 $\pm$ の $-$ 部の値を求めます。

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ステップ 2.4.2.5.1

分子を簡約します。

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ステップ 2.4.2.5.1.1

$6$ を $2$ 乗します。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.2

$- 4 \cdot 1 \cdot 1$ を掛けます。

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ステップ 2.4.2.5.1.2.1

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.2.2

$- 4$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.3

$36$ から $4$ を引きます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{32}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.4

$32$ を $4^{2} \cdot 2$ に書き換えます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.4.2.5.1.4.1

$16$ を $32$ で因数分解します。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{16 (2)}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.4.2

$16$ を $4^{2}$ に書き換えます。

$t = \frac{- 6 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.1.5

累乗根の下から項を取り出します。

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

ステップ 2.4.2.5.2

$2$ に $1$ をかけます。

$t = \frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$

ステップ 2.4.2.5.3

$\frac{- 6 \pm 4 \sqrt{2}}{2}$ を簡約します。

$t = - 3 \pm 2 \sqrt{2}$

ステップ 2.4.2.5.4

$\pm$ を $-$ に変更します。

$t = - 3 - 2 \sqrt{2}$

ステップ 2.4.2.6

最終的な答えは両方の解の組み合わせです。

$t = - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

ステップ 2.5

最終解は $t (t^{2} + 6 t + 1) = 0$ を真にするすべての値です。

$t = 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}$

ステップ 3

定義域は式が定義になる $t$ のすべての値です。

区間記号：

$(- \infty, - 3 - 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 - 2 \sqrt{2}, - 3 + 2 \sqrt{2}) \cup (- 3 + 2 \sqrt{2}, 0) \cup (0, \infty)$

集合の内包的記法：

${t | t \neq 0, - 3 + 2 \sqrt{2}, - 3 - 2 \sqrt{2}}$

ステップ 4

微分積分学準備 例

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